On Mon, Nov 04, 2002 at 12:09:38AM -0200, Felipe Villela Dias wrote: > Um moeda é viciada, ou seja tem uma probabilidade p, p diferente de 50%, de > dar cara e uma probabilidade 1 - p de dar coroa. Sendo assim, se você jogar a > moeda infinitas qual a probabilidade de que em pelo menos um instante o > número de vezes que saiu cara vai ser igual ao número de vezes que saiu > coroa?
Não vai dar para dar uma demonstração totalmente rigorosa mas acho que isso deve deixar você satisfeito. Suponha p < 1/2, assim cara é menos provável e a longo prazo teremos mais coroas do que caras. Supondo que em um certo instante as coroas tenham uma vantagem n, seja f(n) a probabilidade de que naquele instante ou mais tarde venhamos a ter um empate. Se n = 0 temos f(n) = 1 por definição. Se n < 0 também temos f(n) = 1 pois as coroas inevitavelmente superarão qualquer desvantagem. O difícil é saber quanto vale f(n) para n > 0. Observe que claramente temos 0 < f(n) < 1 para todo n > 0 e temos também lim_{n -> infinito} f(n) = 0. Além disso, para todo n > 0 temos f(n) = p f(n-1) + (1-p) f(n+1) pois jogando uma vez a moeda reduzimos o problema ao caso n-1 ou n+1 conforme sair cara ou coroa, respectivamente. É natural agora conjecturar (e fácil provar) que f(n) = a^n para n >= 0 onde a = p/(1-p). A resposta para o seu problema não é f(0) (que é 1 por definição) pois aí não contamos o empate inicial de 0x0 antes do jogo começar. A resposta é portanto p f(-1) + (1-p) f(1) = p + p = 2p. No caso p > 1/2 basta trocar todos os p por 1-p e a resposta é 2(1-p). []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================