On Mon, Nov 11, 2002 at 06:46:52PM -0200, cfgauss77 wrote: > Alguém poderia me ajudar a demonstrar se a afirmativa > abaixo é verdadeira ou falsa. > "Se P(x) e Q(x) são dois polinômios com coeficientes > reais e graus iguais a m e n, respectivamente, e M é o > maior entre os números m e n, então a equação P(x)=Q(x) > tem, no máximo M raízes inteiras e positivas. > Valeu!!! ---end quoted text---
Se P(x) = Q(x), entao P(x) - Q(x) = 0 Se tivermos, por exemplo, P(x) = x e Q(x) = k, onde k eh uma constante, teremos P(x) - Q(x) = x - k, equacao do primeiro grau que possue raiz real k. Note que o grau de Q(x) eh 0, e o de P(x) eh 1. Se fizermos isso com um polinomio do 3. grau e do 2, respectivamente, e ainda com coeficientes iguais, teremos P(x) = x^3 + x^2 + x + 1 Q(x) = x^2 + x + 1 e P(x) - Q(x) = x^3, pois todos os outros termos sao semelhantes. Entao podesse provar por inducao que se P(x) tem grau m e Q(x) tem grau n, sendo m > n, P(x) = Q(x) terah _no maximo_ m raizes inteiras, _mas nao necessariamente positivas_. Se m for impar, nada impede de termos, por exemplo: P(x) = x^3 + x^2 + x + 1 Q(x) = x^2 + x P(x) - Q(x) = x^3 + 1 = 0 logo x = raiz cubica (-1) = -1, as outras 2 raizes sao complexas. Ou os polinimios tem que ser completos ou coisa do tipo? Sempre que voce fizer P(x) - Q(x), e m > n, restarah sempre _no minimo_ o termo de gray m de P(x), pq n < m, por isso pode ter _no maximo_ m raizes reais, pq nada impede de outras serem complexas, como no ultimo exemplo. sao 2:10 da manha, espero ter ajudado alguma coisa :) []'s! -- Marcelo R Leitner <[EMAIL PROTECTED]> ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================