From: "Alexandre Tessarollo" <[EMAIL PROTECTED]> > > Antes de mais nada, obrigado pelas respostas do N para os raios e de todos que responderam às questões do somatório de x^2 e da PA de k-ésima ordem. Gostaria de comentar a resposta do Domingos Jr. em particular: > > >> Ou, mais genericamente, como se calcula a soma do n primeiros termos de uma PA de 2a >>ordem, onde b[n+1]-b[n]=a[n], sendo a[n] o termo de uma PA "normal"(de 1a ordem)? >>Naturalmente temos a[1], R e b[1]. > > > >o somatório de 1 até n dos a[i] vai dar: n.a[1] + somatório{i = 1 até n-1}[(n-i).b[i]] > > > >a1 = a1 > >a2 = a1 + b1 > >a3 = a1 + b1 + b2 > >... > >an = a1 + b1 + b2 + ... + b[n-1] > >a1 + a2 + ... + an = n.a1 + (n-1).b1 + (n-2)b2 + ... + b[n-1] > > Ok, acho q vc assumiu que b[i] era a PA de primeira ordem e a[i] seria a PA de segunda ordem. Considerando assim, está perfeitamente corrto o que vc escreveu. Nos meus rascunhos eu tinha chegado exatamente até esse ponto. O problema que eu tive foi expressar a soma da PA de 2a ordem em função APENAS de a[1], b[1], n e R (razão da PA d 1a ordem). > > Concordo que a sua resposta faz isso IMplicitamente, mas eu gostaria de algo EXplícito. > > Por analogia, poderíamos dizer que o somatório da PA de 1a ordem de b[1] até b[n] pode ser escrito como S[n]=(b[1]+b[n])n/2, mas eu prefiro expressar explicitamente, ou seja, S[n]=(2b[1]+(n-1)R)n/2. > > Desculpem a falta de clareza anterior. Ah sim, ainda falta alguém se manifestar quanto a generalização dessa pergunta, ou seja, como expressar o somatório de uma PA de k-ésima ordem em função (explícita :-)) dos primeiros termos de cada PA de ordem inferior? > > []'s > > Alexandre Tessarollo
Olá Tessarolo e demais participantes da discussão, usando a informação que o Nicolau forneceu e usando um "truque" simples sobre polinômios fica fácil de obter a resposta à sua pergunta. Para simplificar vou calcular só a soma S(k) = 1^n + 2^n + ... + k^n (que não é uma PA de ordem n generalizada, mas não é difícil generalizar). Seguindo a informação que disse que usaríamos, S(k) é um polinômio de grau (n+1) na variável k. Também é fácil de perceber que se S'(k) é outro polinômio de grau (n+1) que coincide com S(k) em exatamente (n+2) pontos então S(k) = S'(k) para todo k. Ok? Vamos encontrar então um polinômio S' de grau (n+1) que coincide com S nos primeiros (n+2) valores de k. Primeiro repare que se definirmos S_0(k) = (k - 1)(k - 2)...(k - (n+1)) S_1(k) = k(k - 2)...(k - (n+1)) ... S_(n+1)(k) = k(k - 1)...(k - n) cada S_i é um polinômio na variável k de grau (n+1) e eles tem a propriedade que S_i(k) vale 0 para todo k = 0, 1, 2, ..., n+1 com execção ao k=i. Ora, agora fica fácil de "normalizar" os polinômios S_i, dividindo-os por uma constante, de forma que valha S_i(i) = 1. Compreendido até aqui? Os termos da PA são S(0), S(1), S(2), ..., S(n+1), ... Defina S'(k) = S(0) * S_0(k) + S(1) * S_1(k) + ... + S(n+1)*S_(n+1)(k) Pergunta: quanto vale S'(0) ? Cada termo S_i se anula com exceção ao primeiro que vale S(0) * S_0(k) = S(0) * 1 = S(0). E assim sucessivamente. O polinômio S' é de grau (n+1) e coincide com S nos n+2 primeiros valores de k=0, 1, 2, ..., n+1. Segue que os dois polinômios são idênticos e a expressão acima define explicitamente o valor da soma de qualquer termo da PA. Esse método se chama de Interpolação de Lagrange, e está discutido em muitos livros de Álgebra Linear e assuntos relacionados. Existem também outras formas explícitas mais interessantes que essa. Abraço, Duda. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================