Oi turma, tubo bem?
Foi proposto um problema na lista com o seguinte enunciado:
Num paralelogramo ABCD,uma reta passando por C intercepta a digonal BD em F
e o lado AB em E. Calcular BE = x, em função de AB = a, sabendo que a área
do quadrilátero AEFD é o triplo da área do triangulo BCF.
Eu tentei resolver e encontrei uma solução bastante interessante e
não-trabalhosa. Para isto segue-se as notações:
BE = x (por hipótese)
AB = CD = a (por hipótese)
h: altura do paralelogramo
h': altura do triângulo FBE relativa ao lado BE
Vamos começar. Pelo enunciado temos (AEFD) = 3(BCF) (1). Pelas notações:
(AEFD) = (ABD) - (FBE) = (ah)/2 - (xh')/2 (2)
(BCF) = (BEC) - (FBE) = (xh)/2 - (xh')/2 (3)
Vejamos que os triângulos FBE e FCD são semelhantes pelo caso AA. Assim
temos que
x/h' = a/(h-h') (4)
De (4) vem que h' = (hx)/(a+x). Troque (2) e (3) em (1), simplifique os
termos semelhantes e depois troque h'. Simplificando novamente e eliminando
o denominador ficamos com a equação
x^2 + 2ax - a^2 = 0
Resolvendo vem x = a(raiz{2}-1).
Valeus,
Helder.
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