Considere duas circunferências tangentes
internamente em um ponto A.Traça-se uma corda BC na maior circunferência de
modo que essa corda tangencie a menor circunferência num ponto D.Prove que a
semi-reta AD é bisssetriz do ângulo BAC.
Solucao:
i) Sejam O1 e O2 os centros das circunferencias menor e maior
respectivamnete.
Afirmacao 1: O1, O2 e A sao colineares.
Prova: Seja t a reta tangente as duas circunferencias em A. Assim, O1A e
O2A sao perpendiculares a t. Logo o angulo entre O1A e O2A eh zero.
ii) Seja D' a intersecao do prolongamento de AD com a circunferencia
maior.
Afirmacao 2: Os triangulos AO1D e AO2D' sao semelhantes.
Prova: Ambos triangulos sao isoceles e tem um angulo comum( O1ÂD = O2ÂD'
).
iii) Da afirmacao 2, conclui-se que O2D' // O1D ==> O2D' eh
perpendicular a BC.
Afirmacao 3: D' eh ponto medio do arco BC.
Prova: O2BC eh isosceles e O'2D' eh perpendicular a BC.
Isto eh tudo...
Andre A.
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