Oi para todos! Mas ai você está assumindo que o eixo de rotação é conhecido, o que não é dito no enunciado.
André T. ----- Original Message ----- From: "Cláudio (Prática)" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, January 31, 2003 4:13 PM Subject: Re: [obm-l] O armario e o corredor > Caros Salvador e Paulo: > > Tenho a impressão de que o retângulo de maior área que efetivamente faz a > curva sofrendo uma rotação de 90 graus é um quadrado de lado 1/raiz(2) (área > = 1/2). Se não for necessário que o retêngulo sofra uma rotação, então o > quadrado de lado 1 é um candidato melhor - ele apenas muda a direção de seu > deslocamento. > > No entanto, o candidato mais forte que eu consegui imaginar é um semicírculo > de raio 1 (área Pi/2). > > Claudio. > > ----- Original Message ----- > From: "Salvador Addas Zanata" <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Friday, January 31, 2003 12:03 PM > Subject: Re: [obm-l] O armario e o corredor > > > > Oi Paulo, > > > Encontrei esse problema num livrinho chamado "Unsolved Problems in > Geometry", ou coisa parecida. Eh da editora Springer. O livro e bem legal, > tem um colecao enorme de problemas "intuitivos", todos MUITO dificeis. > > Faz bastante tempo que li, mas pelo que me lembro, o Conway provou que > esse maximo existe, mas o valor exato nao e conhecido. Ele deu tambem > estimativas e sugeriu formas para > este objeto (formas parecidas com alteres, coisa razoavelmente natural). > > Imagino que os metodos sejam variacionais, mas nao vi nada sobre esse > problema. Se voce morar em Sao Paulo, na biblioteca do IMEUSP, voce > encontrara esse livro. Em cada problema, sao citadas referencias com > resultados parciais. > > > Boa sorte, > > Salvador > > > > On Fri, 31 Jan 2003, Paulo Santa Rita wrote: > > > Hi Salvador e demais > > colegas desta lista ... OBM-L, > > > > Gostei do problema. Voce pode falar mais um pouco sobre ele ? Se eu > > resolve-lo ou conseguir algum progresso significativo mostro ao Conway e > > publico aqui nesta lista. > > > > Desde agradeco. > > > > Um abraco > > Paulo Santa Rita > > 6,1043,310103 > > > > >From: Salvador Addas Zanata <[EMAIL PROTECTED]> > > >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] > > >To: [EMAIL PROTECTED] > > >Subject: Re: [obm-l] O armario e o corredor > > >Date: Thu, 30 Jan 2003 22:45:50 -0200 (EDT) > > > > > > > > > > > >Caros amigos, > > > > > >Um problema pelo que eu sei, em aberto, relacionado a esse consiste no > > >seguinte: > > > > > >Dado um corredor com 1 metro de largura, que faz uma "curva" de 90 graus > e > > >continua com a mesma largura, qual e a maior area possivel que pode fazer > > >essa curva? Observe que o formato dessa area pode ser qualquer, e > > >obviamente ela e suposta rigida. E claro que o maior segmento que essa > > >area contem e limitado, mas isso nao ajuda muito. > > > > > >O John Conway fez algumas coisas parciais sobre isso. > > > > > > > > >Abraco, > > > > > > > > >Salvador > > > > > > > > > > > >On Thu, 30 Jan 2003, Paulo Santa Rita wrote: > > > > > > > Ola Claudio e demais > > > > colegas desta lista ... OBM-L, > > > > > > > > Resposta correta ! Com sinceridade alertei que o problema, nao > obstante > > > > simples, tinha uma solucao surpreendente ! > > > > > > > > Em verdade esse problema me foi sugerido em uma mudanca la em casa, > > >quando > > > > eu ainda era menino : meu pai e tios tentavam arrastar um grande > armario > > > > atraves de um corredor em forma de "L", quando entao os sucessivos > > >fracassos > > > > os levaram a suspeitar que era impossivel, sem saberem justificar. > > > > > > > > Provando ( Garantindo ! Ele nao conhecem Calculo. ) que era > impossivel, > > >eu > > > > os convenci a desmontarem o armario, previamente. So depois de muitos > > >anos > > > > vim a saber que havia um problema de Calculo Diferencial muito > parecido. > > > > > > > > Eu nao acompanhei todos os calculos que voce efetuou, mas a ideia > > >contida no > > > > fragmento abaixo esta correta e e o "insight" que mata a questao. Se > > > > eventualmente houver algum erro no algebrismos ( na burocracia ) e sem > > > > duvida apenas uma desatencao. > > > > > > > > Vou propor agora um problema que nao e facil. Para que ele possa ser > > > > digerido, vou coloca-lo na forma de sub-problemas : > > > > > > > > PROBLEMA : Seja Q um quadrado de lado unitario. Mostre que, qualquer > que > > > > seja a forma como colocarmos no interio de Q dois outros quadrados de > > >lados > > > > L1 e L2, se L1 + L2 > 1 entao estes dois outros quadrados terao ao > menos > > >um > > > > ponto em comum. > > > > > > > > Esse e um dos problemas do Paul Erdos. Ja foi proposto aqui nesta > lista. > > > > A ideia e encontrar uma demonstracao rigorosa, analitica, que nao > lance > > >mao > > > > de intuicoes geometricas contestaveis. > > > > > > > > SUGESTAO : Podemos representar Q como a regiao do R^2 na qual as > > >coordenas > > > > (X,Y) de qualquer ponto obedece as condicoes : > > > > > > > > 0 =< X =< 1 > > > > 0 =< Y =< 1 > > > > > > > > Precisamos encontrar uma maneira de garantir que os quadrados de lados > > >L1 e > > > > L2 estejam confinados em Q. Convencionemos, pois, que : > > > > > > > > 1) O quadrado de lado L1 (L2) tem vertices ABCD (EFGH) com o lado AD > > >(EH) > > > > inclinado de ALF (BET) em relacao aos eixo das abscissas. > > > > 2) "A" ("E") e o vertice de menor ordenada. Se dois vertices tiverem a > > >mesma > > > > menor ordenada, "A" ("E") sera o de menor abscissa > > > > 3) As coordenadas de um vertice serao indexadas pela letra do vertice > > >que > > > > representam. Assim : A=(Xa,Ya), E=(Xe,Ye) > > > > > > > > Note que acima fizemos tao somente convencoes, vale dizer, essas > > >notacoes > > > > nao impoe nenhuma restricao a generalidade que o problema requer, dado > > >que > > > > serao adotadas apos o "desenho" dos quadrados. por outro lado, e claro > > >que : > > > > 0 =< ALF,BET < pi/2. > > > > > > > > Isto posto, adotamos qualquer vertice como referencia e exprimimos os > > >demais > > > > em funcao dele. Assim ( adotando "A" como origem ) : > > > > > > > > D-A=L1*(cos(ALF),sen(ALF)) > > > > C-A=L1*(cos(ALF)-sen(ALF),cos(ALF)+sen(ALF)) > > > > B-A=L1*(-sen(ALF),cos(ALF)) > > > > > > > > Substituindo os vertices por suas coordenadas, exprimindo todas em > > >funcao > > > > das coordenadas do vertice "A" e lembrando que estes vertices devem > > >estar na > > > > regiao Q, isto e, entre 0 e 1, a intersecao das inequecoes resultantes > > > > fornecera : > > > > > > > > L1*sen(ALF) =< Xa =< 1 - L1*cos(ALF) > > > > 0 =< Ya =< 1 - L1*(sen(ALF) + cos(ALF)) > > > > > > > > Estas sao as CONDICOES DE CONFINAMENTO, vale dizer, qualquer que seja > L1 > > >e > > > > qualquer que seja L1, as coordenadas do vertice "A" devem satisfazer > as > > > > condicoes acima para que o quadrado ABCD esteja contido na regiao Q. > > > > Claramente que uma relacao analogo vale para o quadrado EFGH, isto e : > > > > > > > > L2*sen(BET) =< Xe =< 1 - L2*cos(BET) > > > > 0 =< Ye =< 1 - L2*(sen(BET) + cos(BET)) > > > > > > > > Bom, agora nos temos quase tudo para dar uma solucao elegante ao > > >problema do > > > > Erdos. Vamos mostrar que L1+L2 > 1 e contaditorio com as condicoes de > > > > confinamento. > > > > > > > > PRIMEIRO SUB-PROBLEMA : Prove que existe um intervalo fechado [m,n], > > >[m,n] > > > > contido em [0,1], tal que qualquer reta vertical X=K que passa por > [m,n] > > > > passa tambem no interior dos dois quadrados. > > > > > > > > SUGESTAO : Observe que provar a afirmacao acima e o mesmo que dizer > que > > >os > > > > quadrados tem pontos com a mesma abscissa. Para provar isso suponha > que > > >Xa e > > > > diferente de Xe ( Se Xa = Xe, X=Xa e uma reta que atende as condicoes > e > > >a > > > > demonstracao esta conluida ). Sem perda de generalidade suponha Xa < > Xe. > > > > Calcule a abscissa do ponto de maior abscissa de ABCD e a abscissa do > > >ponto > > > > de menor abscissa de EFGH. Monte dois intervalos : [Xa, maior > abscissa], > > > > [menor abscissa, Xe]. Prove que se L1+L2 > 1 os intervalos nao podem > ser > > > > disjuntos. > > > > > > > > O segundo sub-problema e tomar todas as retas que passam pela regiao > de > > > > mesmas abscissas e mostrar que alguma(s) passa(m) SIMULTANEAMENTE no > > > > interior dos dois quadrados, vale dizer, vamos analiticamente "subir a > > >reta" > > > > e ver o que acontece la em cima > > > > > > > > Um Abraco a todos ! > > > > Paulo Santa Rita > > > > 5,1802,300103 > > > > > > > > >From: "Cláudio \(Prática\)" <[EMAIL PROTECTED]> > > > > >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] > > > > >To: <[EMAIL PROTECTED]> > > > > >Subject: Re: [obm-l] O armario e o corredor > > > > >Date: Thu, 30 Jan 2003 15:53:36 -0200 > > > > > > > > > >Caro Paulo e demais colegas da lista: > > > > > > > > > >O maior comprimento de vareta que pode fazer a curva é igual ao > > > > > >comprimento do menor segmento com extremidades em OA e OB que > > >contenha > > > > > >O'. Suponha que o segmento seja MN, com M em OA e N em OB. > > > > > > > > > > > > _________________________________________________________________ > > > > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com > > > > > > > > > > >========================================================================= > > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > > > > > > >========================================================================= > > > > > > > > > >========================================================================= > > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > > >========================================================================= > > > > > > _________________________________________________________________ > > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > > ========================================================================= > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > ========================================================================= > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================