Caros amigos,
Um problema pelo que eu sei, em aberto, relacionado a esse consiste no seguinte: Dado um corredor com 1 metro de largura, que faz uma "curva" de 90 graus e continua com a mesma largura, qual e a maior area possivel que pode fazer essa curva? Observe que o formato dessa area pode ser qualquer, e obviamente ela e suposta rigida. E claro que o maior segmento que essa area contem e limitado, mas isso nao ajuda muito. O John Conway fez algumas coisas parciais sobre isso. Abraco, Salvador On Thu, 30 Jan 2003, Paulo Santa Rita wrote: > Ola Claudio e demais > colegas desta lista ... OBM-L, > > Resposta correta ! Com sinceridade alertei que o problema, nao obstante > simples, tinha uma solucao surpreendente ! > > Em verdade esse problema me foi sugerido em uma mudanca la em casa, quando > eu ainda era menino : meu pai e tios tentavam arrastar um grande armario > atraves de um corredor em forma de "L", quando entao os sucessivos fracassos > os levaram a suspeitar que era impossivel, sem saberem justificar. > > Provando ( Garantindo ! Ele nao conhecem Calculo. ) que era impossivel, eu > os convenci a desmontarem o armario, previamente. So depois de muitos anos > vim a saber que havia um problema de Calculo Diferencial muito parecido. > > Eu nao acompanhei todos os calculos que voce efetuou, mas a ideia contida no > fragmento abaixo esta correta e e o "insight" que mata a questao. Se > eventualmente houver algum erro no algebrismos ( na burocracia ) e sem > duvida apenas uma desatencao. > > Vou propor agora um problema que nao e facil. Para que ele possa ser > digerido, vou coloca-lo na forma de sub-problemas : > > PROBLEMA : Seja Q um quadrado de lado unitario. Mostre que, qualquer que > seja a forma como colocarmos no interio de Q dois outros quadrados de lados > L1 e L2, se L1 + L2 > 1 entao estes dois outros quadrados terao ao menos um > ponto em comum. > > Esse e um dos problemas do Paul Erdos. Ja foi proposto aqui nesta lista. > A ideia e encontrar uma demonstracao rigorosa, analitica, que nao lance mao > de intuicoes geometricas contestaveis. > > SUGESTAO : Podemos representar Q como a regiao do R^2 na qual as coordenas > (X,Y) de qualquer ponto obedece as condicoes : > > 0 =< X =< 1 > 0 =< Y =< 1 > > Precisamos encontrar uma maneira de garantir que os quadrados de lados L1 e > L2 estejam confinados em Q. Convencionemos, pois, que : > > 1) O quadrado de lado L1 (L2) tem vertices ABCD (EFGH) com o lado AD (EH) > inclinado de ALF (BET) em relacao aos eixo das abscissas. > 2) "A" ("E") e o vertice de menor ordenada. Se dois vertices tiverem a mesma > menor ordenada, "A" ("E") sera o de menor abscissa > 3) As coordenadas de um vertice serao indexadas pela letra do vertice que > representam. Assim : A=(Xa,Ya), E=(Xe,Ye) > > Note que acima fizemos tao somente convencoes, vale dizer, essas notacoes > nao impoe nenhuma restricao a generalidade que o problema requer, dado que > serao adotadas apos o "desenho" dos quadrados. por outro lado, e claro que : > 0 =< ALF,BET < pi/2. > > Isto posto, adotamos qualquer vertice como referencia e exprimimos os demais > em funcao dele. Assim ( adotando "A" como origem ) : > > D-A=L1*(cos(ALF),sen(ALF)) > C-A=L1*(cos(ALF)-sen(ALF),cos(ALF)+sen(ALF)) > B-A=L1*(-sen(ALF),cos(ALF)) > > Substituindo os vertices por suas coordenadas, exprimindo todas em funcao > das coordenadas do vertice "A" e lembrando que estes vertices devem estar na > regiao Q, isto e, entre 0 e 1, a intersecao das inequecoes resultantes > fornecera : > > L1*sen(ALF) =< Xa =< 1 - L1*cos(ALF) > 0 =< Ya =< 1 - L1*(sen(ALF) + cos(ALF)) > > Estas sao as CONDICOES DE CONFINAMENTO, vale dizer, qualquer que seja L1 e > qualquer que seja L1, as coordenadas do vertice "A" devem satisfazer as > condicoes acima para que o quadrado ABCD esteja contido na regiao Q. > Claramente que uma relacao analogo vale para o quadrado EFGH, isto e : > > L2*sen(BET) =< Xe =< 1 - L2*cos(BET) > 0 =< Ye =< 1 - L2*(sen(BET) + cos(BET)) > > Bom, agora nos temos quase tudo para dar uma solucao elegante ao problema do > Erdos. Vamos mostrar que L1+L2 > 1 e contaditorio com as condicoes de > confinamento. > > PRIMEIRO SUB-PROBLEMA : Prove que existe um intervalo fechado [m,n], [m,n] > contido em [0,1], tal que qualquer reta vertical X=K que passa por [m,n] > passa tambem no interior dos dois quadrados. > > SUGESTAO : Observe que provar a afirmacao acima e o mesmo que dizer que os > quadrados tem pontos com a mesma abscissa. Para provar isso suponha que Xa e > diferente de Xe ( Se Xa = Xe, X=Xa e uma reta que atende as condicoes e a > demonstracao esta conluida ). Sem perda de generalidade suponha Xa < Xe. > Calcule a abscissa do ponto de maior abscissa de ABCD e a abscissa do ponto > de menor abscissa de EFGH. Monte dois intervalos : [Xa, maior abscissa], > [menor abscissa, Xe]. Prove que se L1+L2 > 1 os intervalos nao podem ser > disjuntos. > > O segundo sub-problema e tomar todas as retas que passam pela regiao de > mesmas abscissas e mostrar que alguma(s) passa(m) SIMULTANEAMENTE no > interior dos dois quadrados, vale dizer, vamos analiticamente "subir a reta" > e ver o que acontece la em cima > > Um Abraco a todos ! > Paulo Santa Rita > 5,1802,300103 > > >From: "Cláudio \(Prática\)" <[EMAIL PROTECTED]> > >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] > >To: <[EMAIL PROTECTED]> > >Subject: Re: [obm-l] O armario e o corredor > >Date: Thu, 30 Jan 2003 15:53:36 -0200 > > > >Caro Paulo e demais colegas da lista: > > > >O maior comprimento de vareta que pode fazer a curva é igual ao > > >comprimento do menor segmento com extremidades em OA e OB que contenha > > >O'. Suponha que o segmento seja MN, com M em OA e N em OB. > > > _________________________________________________________________ > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================