Caro Paulo: Fiz algumas coisas com relação a este seu problema. Gostaria de comentários. > >Numa loteria sao sorteados 7 numeros escolhidos aleatoriamente de >{1,2,3,...,48,49}. Cada cartao de apostas deve ser preenchido com >exatamente 7 numeros. Uma pessoa pode pode apostar quantos cartoes desejar >sem pagar nada, desde que quaisquer dois cartoes de sua >aposta tenham, NO MAXIMO, uma dezena em comum. O primeiro premio e dado a >pessoa que acertar o maior numero de triplos. > >1 ) Exiba uma aposta gratuita que tenha a maxima probabibilidade de ganhar >o primeiro premio >2 ) Qual o valor da probabilidade acima ? >
PARTE 1: Quaisquer dois cartões de uma aposta gratuita podem ter no máximo 1 número em comum. Logo, qualquer par (não ordenado) de números de {1,2,...,49} só pode estar contido em no máximo 1 cartão. Seja M o número de cartões numa aposta gratuita de máxima probabilidade (agmp). Cada cartão contém C(7,2) = 21 pares de números. Logo, o número de pares representados nos M cartões é igual a 21*M. O número total de pares contidos em {1,2,...,49} é C(49,2) = 1.176. Logo, vale a desigualdade: 21*M <= 1.176 ==> M <= 56. Logo, uma agmp consiste de, no máximo, 56 cartões. Pode ser que seja possível uma agmp com exatamente 56 cartões mas eu não consegui construir uma. ************ PARTE 2: Com 7 números por cartão, o número de triplos contidos em cada cartão é C(7,3) = 35. Como são sorteados 7 números, o número de triplos vencedores também é igual a 35. Além disso, um dado triplo pode estar contido em no máximo um cartão de uma agmp, a qual, portanto, estará apostando em 35*M triplos. Neste ponto surgiu a minha dúvida: o primeiro prêmio é dado a quem tiver o cartão com o maior número de triplos vencedores ou a quem tiver a maior soma dos números de triplos vencedores em cada cartão apostado. Por exemplo, suponha que os 7 números sorteados sejam {1,2,3,4,5,6,7} e que um apostador tenha jogado três cartões: {1,2,3,4,10,11,12}, {4,5,6,20,21,22,23} e {1,6,7,30,31,32,33} Então devemos considerar que este jogador acertou 6 triplos ({1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}e {2,3,4} no primeiro cartão, {4,5,6} no segundo e {1,6,7} no terceiro) ou apenas tomar o seu cartão com o maior número de triplos vencedores (no caso, o primeiro, com 4 triplos) e dizer que ele acertou apenas 4 triplos? De qualquer forma, a probabilidade desejada não é a de se acertar um determinado número de triplos, mas sim a de se acertar mais triplos do que qualquer outro jogador. Esta probabilidade deverá depender das apostas feitas pelos outros jogadores. Por exemplo, se algum jogador fizer uma aposta (não gratuita) que consiste de todos os C(49,7) cartões possíveis, então, a probabilidade da agmp ganhar o primeiro prêmio é menor do que seria se cada um dos outros jogadores apostar apenas um cartão. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================