algumas idéias... (http://mathworld.wolfram.com/EulersTotientTheorem.html)
phi(10^1000) é o número de inteiros de 1...10^1000 que são relativamente primos com 10^1000. temos que todos os múltiplos de 2 ou 5 são os únicos inteiros com divisor em comum com 10^1000, logo, o número de múltiplos de 2 e 5 é (10^1000)/2 + (10^1000)/5 - (10^1000)/10 = 3/5(10^1000) phi(10^1000) = 2/5(10^1000) = 2^1001.5^999 se mdc(10^1000, a) = 1, temos a^phi(10^1000) = 1 (mod 10^1000) pelo teorema de Euler suponha que para algum n, a(n) = a(n+1) (mod 10^1000) a(n+2) = a^a(n+1) = a^(10^1000.q + a(n)) = (a^(10^1000))^q . a^a(n) = (a^(10^1000))^q . a(n+1) se q = 2k, temos a(n+2) = (a^(10^1000))^2k . a^a(n) = a^a(n) = a^a(n+1) se q = 2k + 1, a(n+2) = (a^(10^1000))^(2k + 1) . a(n+1) = (a^(10^1000))^2k . a^(10^1000) . a(n+1) = a^(10^1000) . a(n+1) a(n+2) = a^(10^1000) . a(n+1) a(n+2)² = [a^(10^1000) . a(n+1)]² = a(n+1)² a(n+2)² = a(n+1)² aqui entram os detalhes técnicos, é simples ver que os primos da fatoração a(m) são os mesmos da fatoração de a, sendo assim, se mdc(a, 10^1000) = 1, mdc(a(m), 10^1000) = 1 para todo m >= 1. se considerarmos o grupo multiplicativo formato pelos elementos de 1 até 10^1000 relativamente primos a 10^1000, temos: a(n+2)² = a(n+1)² <=> (a(n+2) - a(n+1)).(a(n+2) + a(n+1)) <=> a(n+2) = a(n+1) ou a(n+2) = -a(n+1) se conseguirmos eliminar o caso a(n+2) = -a(n+1), ou eliminarmos a possibilidade de que q seja ímpar, bastaria provar que, dado a, mdc(a, 10^1000) = 1, se existe algum n tal que a(n) = a(n+1), temos que após n todos os 10.000 últimos dígitos da seqüência estarão fixados. sobram os casos em que 2|a ou (exclusivo) 5|a, se 10|a, a resposta é trivial, já que só de olhar para 10^10^10 dá pra ver que essas séries vão ter números com muitos zeros no final e esse número de zeros atinge 1000 bem rapidamente... [ ]'s > Oi pessoal, > Tenho acompanhado a lista pelo site da obm à alguns > dias e então resolvi entrar. Tenho um problema legal > (gostaria da ajuda de um dos brilhantes participantes > da lista, como: Johann Peter Gustav Lejeune > Dirichlet...): Seja a(1) = a; a(n+1) = a^a(n); Prove > que: para qualquer a > 1 inteiro, os últimos 1000 > dígitos da expansão decimal de a(n) ficam > eventualmente constantes !!! > Okakamo Kokobongo > > _______________________________________________________________________ > Busca Yahoo! > O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================