Este é um problema clássico de programação matemática: minimização de uma função quadrática sujeita a uma restrição linear. O problema tem solução analítica pelo método dos multiplicadores de Lagrange. Vamos considerar uma situação mais geral:
Minimizar c_1 x_1^2 +... c_n x_n^2 sujeito a a_1 x1 + a_n x_n = S, onde todos os c_i e a_i são postivos. Como temos apenas uma restrição, o Lagrangeano deste problema é dado por Lag(x_1, ...x_n, L) = c_1 x_1^2 +... c_n x_n^2 - L (a_1 x1 + a_n x_n - S). Igualando-se a zero as derivadas parciais de Lag com relação aos x_i, obtemos 2 c_i x_i - L a_i = 0. Logo, x_i = (L a_i)/(2c_i), i=1...n. Igualando -s a zero a derivada parcial de Lag com relação a L, obtemos a própria restrição do problema. Para cada i, temos portanto que a_i x_i = (L a_i^2)/(2c_i). Somando-se estas n igualdades, obtemos S = (L/2) Soma (i=1,n) (a_i^2)/(c_i) e, consequentemente, L = 2S/[Soma i=1,n) (a_i^2)/(c_i)]. Com isto, L fica perfeitamente determinado em função dos x_i e dos c_i. Como x_i = (L a_i)/(2c_i), i=1,...n, o mesmo ocorre para os x_i. Obtemos assim a solução do problema. Como se trata de um problema quadrático, com coeficientes postivos, não há necessidade de investigar as condições de otimalidade de segunda ordem. A função objetivo é convexa, há um único mímo local que, neste caso, é também global. No caso inicialmente apresentado, temos a_1 =..a_n =1 e c_1 = ....c_n =1. Das expressões deduzidas, segue-se que a solução ótima é x_1 = ....x_n = S/n. Artur ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================