> observe: > y'(t)=a*y(t) > Y'(t)/y(t)=a > > Pode-se afirmar que lny(t)=at + K, com K pertencente > aos reais?Demonstre isso. > > ln(y(t)) = at + K ==> y(t) = e^(at + K) = Ae^at, com A real > 0 (A = e^K).
Assim, y(t) = Ae^at satisfaz a equação diferencial y'(t) = a*y(t). Resta provar que esta é a única solução: Seja x(t) uma solução ==> x'(t) = a*x(t). Considere u(t) = x(t)*e^(-at). Derivando em relação a t vem: u'(t) = x'(t)*e^(-at) - a*x(t)*e^(-at) Levando em conta que x'(t) = a*x(t), teremos: u'(t) = a*x(t)*e^(-at) - a*x(t)*e^(-at) = 0 ==> u(t) = b = constante ==> x(t)*e^(-at) = b ==> x(t) = b*e^at ==> ln(x(t)) = ln(b) + at = at + K1, onde K1 é uma constante real. Logo, se x(t) é uma solução de x'(t) = a*x(t), então necessariamente ln(x(t)) tem a forma acima. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================