On Wed, Feb 26, 2003 at 04:15:10AM -0300, Henrique Branco wrote: > Discutindo com um amigo meu sobre a demonstração das propriedades do > logaritmo natural, encontrada no "Calculo com Geometria Analítica", do > Swokowsky, ele argumentou que a mesma seria falha. Vou expor a prova > encontrada no livro citado e depois discutir. > > Propriedade: > Se p > 0 e q > 0 > log(p*q) = log(p) + log(q) > > Demonstração: Primeiro, tomamos log(p*x) e log(x) como antiderivadas de 1/x > (isso é fácil ver se derivarmos os logs, p > 0). Então, um teorema garante > que log(p*x) = log(x) + C (1) para alguma constante C. Nesse momento (e aqui > começa a discussão), o autor faz x = 1. Como log(1) = 0, temos: > > log(p) = log(1) + C => C = log(p) (2) > > Substituindo (2) em (1), temos: > log(p*x) = log(x) + log(p) > > Como q > 0 está no domínio do log, podemos tomar x = q e a prova está > concluída: log(p*q) = log(p) + log(q)
A demonstração está correta. Os prerequisitos são: Se f(x) = log x então f'(x) = 1/x o que pode ser tomado como definição de log (alguns livros fazem isso) e Se f: (0,+infty) -> R é derivável em todo ponto do domínio com f'(x) = 0 (para todo x no domínio) então f é constante. Este deve ser o 'um teorema' de que você fala. É comum em cursos de cálculo apresentar isso como conseqüência do Teorema do Valor Médio (o que é correto) mas a maioria dos alunos e alguns professores perdem o sequenciamento lógico dos resultados, aprende que f' = 0 implica f constante mas não sabe mais pq e fica achando o TVM uma tecnicalidade. > Agora, a confusão deu-se no momento que o autor fez x = 1, para obter a > constante e substituir na expressão. Meu amigo diz que essa demonstração não > é rigorosamente válida pois ele nào a demonstrou para todo x, apenas para x = > 1. Não entendi o pensamento do seu amigo. Demonstramos que existe uma constante C tal que log(px) = log x + C para todo x e não é muito difícil achar C. Talvez o fato importante seja que C pode depender de p mas não depende de x. > Eu disse que, uma vez que a função log está definida para todo x > 0, então > não haveria problema em tomar x = 1, pois este ponto teria a mesma > "propriedade" de todos os outros pontos do domínio (existe algum teorema que > garante isso? inferi isso pois o Guidorizzi, em "Um Curso de Cálculo", > também usou desse artifício, considerando uma função definida em [a,b] e > tomando x = a). Isto não é um teorema, é o próprio conceito de 'para todo'. Se vale para todo x, vale para x=1. Também vale para x=2 e x=3. Se não valesse para x=1 não valeria para todo x. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================