Sauda,c~oes, Mandei hoje já há muito tempo uma longa msg a este respeito. Enquanto não chega, mando um pedaço dela:
tan(3 Pi/11) + 4 sin(2 Pi/11) = sqrt(11) (1) Solution: The identity below is true for all s. (\tan(3s) + 4\sin(2s))^2 = 11 - \frac{(\tan(8s) + \tan(3s))\cos(8s)}{\sin(s)\cos(3s)} (2) Substituting s = Pi/11 into (2) we prove (1) since it is obvious that \tan(8s) + \tan(3s) = 0 for s = Pi/11, and \tan(3*Pi/11) + 4*\sin(2*Pi/11) > 0 Não me perguntem como o prof. Markelov chegou a (2). E também não tenho a prova de (2). > Claro que o Luís Lopes e o Morgado podem achar > que uma solução geométrica seria mais elegante... > É verdade. Como fazer? []'s Luís -----Mensagem Original----- De: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: quinta-feira, 6 de março de 2003 12:06 Assunto: Re: [obm-l] Problemas em aberto IV > On Sun, Mar 02, 2003 at 11:12:21AM -0300, A. C. Morgado wrote: > > O Luís Lopes mandou ha algum tempo: > > Prove que > > tan(3*Pi/11) + 4*sin(2*Pi/11) = sqrt(11). > > > > Embora eu tenha uma ideia muito clara do que fazer (usar trigonometria > > do tempo dos gregos, isto eh, construir um conveniente quadrilatero > > inscrito e aplicar o teorema de Ptolomeu), quando tentei nao consegui. > > Eu fiz algo bem diferente; usei álgebra e maple: > > > > pp := ((z^3 - z^(-3)) + 2*(z^2 - z^(-2\ > > ))*(z^3 + z^(-3)))^2 + 11*(z^3 + z^(-3))^2; > / 3 1 / 2 1 \ / 3 1 \\2 / 3 1 \2 > pp := |z - ---- + 2 |z - ----| |z + ----|| + 11 |z + ----| > | 3 | 2 | | 3 || | 3 | > \ z \ z / \ z // \ z / > > > p1 := expand(pp); > 2 4 4 4 8 6 4 10 4 4 > p1 := 4 + 4 z + ---- + 4 z + ---- + 4 z + 4 z + ---- + 4 z + ---- + --- > 2 4 6 8 10 > z z z z z > > > p2 := expand(z^10 * p1); > 10 12 8 14 6 18 16 4 20 > p2 := 4 z + 4 z + 4 z + 4 z + 4 z + 4 z + 4 z + 4 z + 4 z > > 2 > + 4 z + 4 > > > factor(p2); > 5 6 4 7 3 9 8 2 10 > 4 (z + z + z + z + z + z + z + z + z + z + 1) > > 10 9 8 7 6 5 4 3 2 > (z - z + z - z + z - z + z - z + z - z + 1) > > A idéia é que z = exp(Pi*i/11). > Temos tan(3*Pi/11) = -i (z^3 - z^(-3))/(z^3 + z^(-3)), > sin(2*Pi/11) = -i/2 * (z^2 - z^(-2)) donde após pequenas > simplificações queremos verificar que pp acima vale 0. > Expandimos, fatoramos e descobrimos que pp é múltiplo de > z^10 - z^9 + z^8 - ... - z + 1. Ora, este polinômio de fator > tem exp(Pi*i/11) por raiz. > > Observe que as contas não são tão pesadas assim, > daria para fazer na mão. > > Claro que o Luís Lopes e o Morgado podem achar que uma solução > geométrica seria mais elegante... > > []s, N. > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================