On Sun, Mar 02, 2003 at 11:12:21AM -0300, A. C. Morgado wrote: > O Luís Lopes mandou ha algum tempo: > Prove que > tan(3*Pi/11) + 4*sin(2*Pi/11) = sqrt(11). > > Embora eu tenha uma ideia muito clara do que fazer (usar trigonometria > do tempo dos gregos, isto eh, construir um conveniente quadrilatero > inscrito e aplicar o teorema de Ptolomeu), quando tentei nao consegui.
Eu fiz algo bem diferente; usei álgebra e maple: > pp := ((z^3 - z^(-3)) + 2*(z^2 - z^(-2\ > ))*(z^3 + z^(-3)))^2 + 11*(z^3 + z^(-3))^2; / 3 1 / 2 1 \ / 3 1 \\2 / 3 1 \2 pp := |z - ---- + 2 |z - ----| |z + ----|| + 11 |z + ----| | 3 | 2 | | 3 || | 3 | \ z \ z / \ z // \ z / > p1 := expand(pp); 2 4 4 4 8 6 4 10 4 4 p1 := 4 + 4 z + ---- + 4 z + ---- + 4 z + 4 z + ---- + 4 z + ---- + --- 2 4 6 8 10 z z z z z > p2 := expand(z^10 * p1); 10 12 8 14 6 18 16 4 20 p2 := 4 z + 4 z + 4 z + 4 z + 4 z + 4 z + 4 z + 4 z + 4 z 2 + 4 z + 4 > factor(p2); 5 6 4 7 3 9 8 2 10 4 (z + z + z + z + z + z + z + z + z + z + 1) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 (z - z + z - z + z - z + z - z + z - z + 1) A idéia é que z = exp(Pi*i/11). Temos tan(3*Pi/11) = -i (z^3 - z^(-3))/(z^3 + z^(-3)), sin(2*Pi/11) = -i/2 * (z^2 - z^(-2)) donde após pequenas simplificações queremos verificar que pp acima vale 0. Expandimos, fatoramos e descobrimos que pp é múltiplo de z^10 - z^9 + z^8 - ... - z + 1. Ora, este polinômio de fator tem exp(Pi*i/11) por raiz. Observe que as contas não são tão pesadas assim, daria para fazer na mão. Claro que o Luís Lopes e o Morgado podem achar que uma solução geométrica seria mais elegante... []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================