Caro Paulo: Neste problema: > > Seja S o conjunto de todas as sequencia FINITAS de INTEIROS POSITIVOS > tais que se {Xn}=X1, X2, ...,Xn pertence a S entao para todo P < N, > X1+X2+...+Xp NAO E congruo a 1 modulo 3. Mostre que existe uma bijecao entre > S e o conjunto de todos os impares positivos. > eu fiz o seguinte raciocínio:
Seja N = conjunto dos inteiros positivos. Então: 1. Existe uma bijeção entre quaisquer dois conjuntos enumeráveis; 2. O conjunto dos ímpares positivos é enumerável; 3. Pelas definições básicas de função (conjunto de pares ordenados com primeiras coordenadas distintas duas a duas) e sequência (função cujo domínio é N) cada sequência de S consiste de um conjunto de pares ordenados { (1,X1), (2,X2), ..., (n,Xn) , ... } onde cada Xi é um inteiro positivo e onde existe um inteiro positivo n, tal que Xk = 0 para k > n. Assim, cada sequência de S é um subconjunto de N x (N U {0}), o qual é enumerável. Logo, cada sequência de S é um conjunto enumerável. 3. S é enumerável, por ser uma reunião enumerável de conjuntos enumeráveis. Logo, existe uma bijeção entre S e o conjunto de todos os ímpares positivos. Uma outra alternativa é fazer a correspondência: (X1, ..., Xn) <==> 0,X1X2...Xn (ou seja, cada sequencia corresponde a um número obtido justapondo-se os Xi's e tratando-os como decimais) Como cada sequencia é finita, as decimais serão finitas e os números obtidos serão todos racionais. Assim, teremos obtido uma bijeção entre S e um subconjunto dos racionais. Logo, S será enumerável. Tá certo o que eu fiz? O estranho é que em nenhum momento eu usei a propriedade aritmética das sequências. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================