Prezados Thiago, Creio que o Artur forneceu as definições básicas que você pediu, exceto as que se referem aos termos "infinito potencial" e "infinito atual". A distinção entre
"infinito potencial" e "infinito atual" remonta a Aristóteles. Foi ressucitada com a teoria dos conjuntos infinitos de Cantor no século XIX e adquiriram força com o estudo dos paradoxos no século XX. Há uma ENORME literatura sobre este tema em artigos e periódicos devotados aos fundamentos da matemática. A distinção poderá parecer meio "filosófica" ou "metafísica" num primeiro contato, mas pode ser entendida mais facilmente observando como se utilizam esses dois termos. (A propósito, Wittgenstein não estava certo ao dizer que o significado de um termo é o seu uso?) Os conjuntos infinitos de Cantor são "infinitos atuais" e isto foi o traço ousado da sua teoria (para a época). Um "infinito atual" é aquele que pode ser concebido como uma entidade "completa", "acabada": todos os seus elementos podem ser pensados num ato único, como já dados à nossa percepção (ainda que não possamos "visualizá-los" simultaneamente). O "infinito atual" é o único "infinito" conhecido pelos matemáticos de hoje (com exceção dos que se dedicam ao estudo crítico dos fundamentos da matemática). Entretanto, muitos objetaram a esse ponto de vista dizendo que, por exemplo, os números naturais não podem ser concebidos como um conjunto infinito "acabado". Segundo esses autores (Kronecker, Poincaré, Brower, etc), é simplesmente um absurdo admitir que "todos" os números naturais podem ser pensados coletivamente, como se pudéssemos colocá-los dentro de uma sacola à qual damos o nome de IN. Para esses autores, a infinidade dos números naturais é apenas "potencial": podemos sempre imaginar números maiores do que um número dado previamente, mas não temos o direito de "considerar" ou "pegar" TODOS os números naturais de uma só vez (como hoje estamos acostumados a fazer por influência de Cantor). As várias complicações envolvidas na teoria dos conjuntos de Cantor seriam uma prova (segundo esse ponto de vista) de que o "infinito atual" é auto-contraditório. Você ficará surpreso quando descobrir a ENORME quantidade de publicações que foram devotados a este tema somente no século XX! O tom das discussões requer algum preparo em filosofia (ontologia e epistemologia; a questão dos universais; o nominalismo, etc.), lingüística (semântica, sintaxe, significado, referentes, etc) e, claro, matemática! Quando tiver tempo, enviarei a esta lista um resumo da bibliografia técnica com a qual estou familiarizado. No momento, sugiro que leia o meu artigo na página http://www.gregosetroianos.mat.br/historia.asp De um ponto de vista puramente pragmático, você pode seguramente "ignorar" essas incursões pela filosofia quando estiver estudando o infinito em cursos regulares de matemática. O conceito de "infinito" que vigora nos livros de Análise e Topologia Geral é (implicitamente) o de "infinito atual", sendo esta a atitude que os matemáticos herdaram de Cantor. Carlos César de Araújo Matemática para Gregos & Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG ----- Original Message ----- From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, May 30, 2003 10:55 AM Subject: [obm-l] Re: [[obm-l] Dúvida de Matemática (Infinitos)] > Oi Thiago > Comecemos pelas definicoes de conjunto finito e infinito. Sao, de fato, o que > os termos sugerem, um conjunto finito tem um numero finito de elementos e, no > outro caso, infinitos elementos. Formalmente, dizemos que um conjunto eh > finito se ele puder ser colocado em correspondencia biunivuca com um > seguimento inicial do conjunto dos naturais. Dizemos que In eh um seguimento > inicial do conjunto dos naturais se, para algum natural n, tivermos In = > {1,....n}. Logo, se um conjunto eh finito, existe uma bijecao dele sobre In > para algum natural n. > Dizemos que um conjunto eh infinito se nao for finito, isto eh, se nao houver > nenhum n para o qual seja possivel encontrar uma bijecao do conjunto sobre > In. > > Os termos enumerável e nao-enumeravel referem-se tambem a conjuntos. Dizemos > que um conjunto eh infinito enumeravel se houver uma bijecao dele sobre o > conjunto N, dos naturais. O conjunto N eh portanto numeravel, pois hah uma > bijecao dele sobre ele mesmo. Tambem numeravel eh o conjunto dos Z dos > inteiros, pois podemos obter uma correspondencia biunivica da seguinte forma > 0 --- 1 > 1 --- 2 > -1 ----3 > 2 ---- 4 > -2 ---- 5 > .. > n --- 2n > -n ---2n+1 > ... > > O conjunto dos racionais eh numeravel (em qualquer livro de analise hah esta > prova). Unioes de colecoes numeraveis de conjuntos numeraveis sao numeraveis > (a prova disto, no caso geral, baseia-se em um axioma conhecido por Axioma da > Escolha). Produtos cartesianos finitos de conjuntos numeraveis sao numeraveis, > logo N^2 e Q^2 sao numeraveis. > > Um conjunto eh infinito nao enumeravel se nao houver uma bijecao dele sobre N. > Assim, o conjunto dos reais nao eh numeravel. O intervalo [0,1] tambem nao eh > numeravel. De modo geral, intervalos sobre a reta real nao sao numeraveis. Os > espacos vetoriais R^n nao sao numeraveis eo conjunto dos complexos tambem nao > eh. > > Alguns autores utilizam o termo numeravel tanto para conjuntos finitos como > para infinito numeraveis. > > Agora, com relacao aos termos infinito potencial e infinito atual, eu vou > ficar devendo. Nunca ouvi estes conceitos antes, pelo menos nao com tais > denominacoes. > Um abraco > Artur > > Thiago Luís Tezza <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > Olá. Estou com uma dúvida sobre o que é: > > > > - Infinito enumerável; > > - Infinito não-enumerável; > > - Infinito potencial; > > - Infinito atual; > > > > E a distinção entre conjunto finito e conjunto infinito. > > > > Obrigado, > > > > Thiago Luís Tezza > > > > _________________________________________________________________ > > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > ========================================================================= > > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================