Prezados Thiago e Artur, Apenas um detalhe quanto à definição de "conjunto finito", e que é RARAMENTE percebido. Observe essas duas definições:
(1) Um conjunto A é finito se existe n em IN e uma bijeção f: {1,...,n}->A; (2) Um conjunto A é finito se não existe função injetora f: A->A tal que f(A)=A. Embora a primeira definição de "finito" seja a mais natural, foi a segunda (ou, mais precisamente, a sua negação) que marcou época na história do pensamento matemático, pois revelou a natureza "paradoxal" do infinito (atual): um conjunto A é INFINITO sse pode ser colocado em correspondência biunívoca com um subconjunto próprio! A percepção deste fato foi destacada como uma notável "descoberta" nos escritos de Bolzano, Dedekind, Cantor e Peirce. Foi, para eles, o fato fundamental que permitiu uma autêntica "ciência" do infinito. Embora Cantor e Dedekind tenham reconhecido em (2) a marca verdadeira do "infinito", seus tratamentos em artigos publicados foram diferentes. No seu famoso livreto Was sind und Was sollen die Zahlen ?(1887), Dedekind COMEÇA com a (negação da) definição (2). Já Cantor, em suas monografias de 1895 e 1897, parte de (1). Ambos tinham como não-problemático que (1) e (2) são equivalentes, e ambos deram demonstrações dessa equivalência e ressaltaram o seu papel crucial no estudo dos conjuntos infinitos. O que demorou a ser percebido foi que a EQUIVALÊNCIA entre as definições (1) e (2) depende de uma afirmação que causou grande consternação entre os matemáticos no começo do século XX: o Axioma da Escolha. A prova de que (1)=>(2) não coloca nenhuma dificuldade séria, mas provar que (2) => (1) requer o uso do Axioma da Escolha (mesmo em sua forma mais fraca, o "Axioma da Escolha Enumerável"). Este fato não foi percebido por Cantor, e foi "quase" descoberto por Dedekind (sem, contudo, dar-se conta dele por inteiro). Hoje, são raros os textos de Análise (pelo menos em português) que mostrem o papel fundamental do Axioma da Escolha nas demonstrações (em topologia, geometria diferencial, equações diferenciais, combinatória, etc.). Bem, mas qual é o problema? Por que é importante ressaltar explicitamente os usos desse axioma? Isto é assunto para uma outra ocasião, talvez outro lugar ... Carlos César de Araújo Matemática para Gregos & Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG ----- Original Message ----- From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, May 30, 2003 10:55 AM Subject: [obm-l] Re: [[obm-l] Dúvida de Matemática (Infinitos)] > Oi Thiago > Comecemos pelas definicoes de conjunto finito e infinito. Sao, de fato, o que > os termos sugerem, um conjunto finito tem um numero finito de elementos e, no > outro caso, infinitos elementos. Formalmente, dizemos que um conjunto eh > finito se ele puder ser colocado em correspondencia biunivuca com um > seguimento inicial do conjunto dos naturais. Dizemos que In eh um seguimento > inicial do conjunto dos naturais se, para algum natural n, tivermos In = > {1,....n}. Logo, se um conjunto eh finito, existe uma bijecao dele sobre In > para algum natural n. > Dizemos que um conjunto eh infinito se nao for finito, isto eh, se nao houver > nenhum n para o qual seja possivel encontrar uma bijecao do conjunto sobre > In. > > Os termos enumerável e nao-enumeravel referem-se tambem a conjuntos. Dizemos > que um conjunto eh infinito enumeravel se houver uma bijecao dele sobre o > conjunto N, dos naturais. O conjunto N eh portanto numeravel, pois hah uma > bijecao dele sobre ele mesmo. Tambem numeravel eh o conjunto dos Z dos > inteiros, pois podemos obter uma correspondencia biunivica da seguinte forma > 0 --- 1 > 1 --- 2 > -1 ----3 > 2 ---- 4 > -2 ---- 5 > .. > n --- 2n > -n ---2n+1 > ... > > O conjunto dos racionais eh numeravel (em qualquer livro de analise hah esta > prova). Unioes de colecoes numeraveis de conjuntos numeraveis sao numeraveis > (a prova disto, no caso geral, baseia-se em um axioma conhecido por Axioma da > Escolha). Produtos cartesianos finitos de conjuntos numeraveis sao numeraveis, > logo N^2 e Q^2 sao numeraveis. > > Um conjunto eh infinito nao enumeravel se nao houver uma bijecao dele sobre N. > Assim, o conjunto dos reais nao eh numeravel. O intervalo [0,1] tambem nao eh > numeravel. De modo geral, intervalos sobre a reta real nao sao numeraveis. Os > espacos vetoriais R^n nao sao numeraveis eo conjunto dos complexos tambem nao > eh. > > Alguns autores utilizam o termo numeravel tanto para conjuntos finitos como > para infinito numeraveis. > > Agora, com relacao aos termos infinito potencial e infinito atual, eu vou > ficar devendo. Nunca ouvi estes conceitos antes, pelo menos nao com tais > denominacoes. > Um abraco > Artur > > Thiago Luís Tezza <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > Olá. Estou com uma dúvida sobre o que é: > > > > - Infinito enumerável; > > - Infinito não-enumerável; > > - Infinito potencial; > > - Infinito atual; > > > > E a distinção entre conjunto finito e conjunto infinito. > > > > Obrigado, > > > > Thiago Luís Tezza > > > > _________________________________________________________________ > > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > ========================================================================= > > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================