Eh exatamente isto! Alem das conclusoes que vc citou, hah duas outras interessantes, validas em espacos metricos e em espacos toplogicos metrizaveis:
Se X eh um espaco metrico, A eh um subconjunto de X, Y eh um espaco metrico completo e f:A=>X eh uniformemente continua, entao f tem uma unica extensao uniformemente continua para cl A. Se f eh continua em A e apresenta limite nos pontos de acumulacao de A, entao f tem uma unica extensao continua para cl A. Neste caso, Y nao precisa ser completo. Um abraco Artur >-----Original Message----- >From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] >rio.br] On Behalf Of Carlos César de Araújo >Sent: Saturday, May 31, 2003 3:04 PM >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: Re: [obm-l] problema de Topologia > >> Acho este problema bonito >> Sejam X un espaco topolologico, Y um espaco topologico de Haursdorff e f >> e g funcoes continuas de X em Y. Mostre que E = {x em X | f(x) = g(x)} >> eh um subconjunto fechado de X. > >Vejamos se o complementar X-E é, de fato, aberto. Para isto, dado v em X-E, >devemos obter um X-aberto V tal que > >(*) v está em V e V contido em X-E. > >Ora, como v está em X-E, temos f(v)<>g(v). Como Y é de Hausdorff, os pontos >distintos f(v) e g(v) podem ser SEPARADOS por certos Y-abertos A e B; isto >é, temos > >(*) f(v) em A, g(v) em B, A disjunto de B, > >ou ainda (em termos de imagens inversas) > >(*) v em f^(-1)(A), v em g^(-1)(B), A disjunto de B. > >Como f e g são CONTÍNUAS, segue-se que a interseção > >V = f^(-1)(A) inter g^(-1)(B) > >é um X-aberto contendo v. Resta verificar que V está contido em X-E. Ora, >como A é disjunto de B, temos > >x em V ==> f(x) em A e g(x) em B ==> f(x) não está em B ==> f(x)<>g(x) ==> >x >não está em E. > >Era o que cumpria provar. > >OBSERVAÇÃO. Com as hipóteses acima, somos naturalmente levados a este >resultado quando tentamos provar que toda função contínua f: A->Y admite NO >MÁXIMO uma extensão contínua ao fecho cl(A). (Alternativamente: se duas >funções contínuas de X em Y coincidem num subconjunto denso de X, então >elas >coincidem em toda parte.) > >Carlos César de Araújo >Matemática para Gregos & Troianos >www.gregosetroianos.mat.br >Belo Horizonte, MG > >======================================================================= == >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >======================================================================= == ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================