Para o primeiro problema, o Carlos apresentou a solucao, que foi igual aa minha. Vou dar a solucao que encontrei para o segundo. Talvez alguem tenha uma outra. Vamos inicialmente mostrar que g eh continua em S. Para tanto, observemos que, se x1 e x2 estao em S, entao d(x1,f(x1)) <= d(f(x1),f(x2))+ d(f(x2),x2) + d(x2,x1). Logo, d(x1,f(x1))-d(x2,f(x2)) =g(x1) - g(x2) <= d(f(x1),f(x2)) + d(x1,,x2). Considerando a relacao aa qual f satisfaz, segue-se que g(x1) - g(x2) <d(x1,x2) + d(x1,x2) = 2d(x1,x2). Permutando-se x1 e x2, obtemos g(x2) - g(x1) <2d(x1,x2) e, portanto, |g(x1) - g(x2)| < 2d(x1,x2), do que concluimos que g eh uniformemente continua em E. Como E eh compacto, g entao assume um minimo global em algum a em E. Para vermos que g(a) =0, observemos que, se g(a)>0, entao a<>f(a). Pela relacao a que f satisfaz, temos entao que d(f(a),f(f(a))) = g(f(a))<d(a,f(a)) = g(a). Logo, g(f(a))<g(a), o que contraria a hipotese de que a eh minimo global de f. Temos, portanto, que g(a) = 0 e f(a) =a, o que prova que a eh ponto fixo de f. Para concluir, resta demonstrar que a eh unico. De fato, se a'<>a for tambem ponto fixo de f, entao, pela relacao a que f satisfaz em E, segue-se que d(a,a')=d(f(a), f(a'))<d(a,a'), uma contradicao. Logo, a eh o unico ponto fixo de f em E. Um abraco Artur
Artur Costa Steiner SHCGN 705 Bloco P Ap 506 Brasília - DF Cep 70730-776 61 340-9788 61 913-3745 61 9987-0709 -----Original Message----- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Artur Costa Steiner Sent: Saturday, May 31, 2003 12:45 PM To: OBM Subject: [obm-l] problema de Topologia Acho este problema bonito Sejam X un espaco topolologico, Y um espaco topologico de Haursdorff e f e g funcoes continuas de X em Y. Mostre que E = {x em X | f(x) = g(x)} eh um subconjunto fechado de X. Este outro tambem eh interessante: Seja S um espaco metrico compacto com metrica d e seja f:S=>S uma funcao tal que d(f(x), f(y)) < d(x,y) para todos x e y em S tais que x<>y. Mostre que f possui um, e apenas um, ponto fixo em S. Sugestao: mostre que g:X=>R dada por g(x) = d(x, f(x)) assume um valor minimo em em S e que este valor eh 0. Um abraco Artur ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================