Caros colegas, Coloquei na minha pagina (www.impa.br/~gugu , mais precisamente em www.impa.br/~gugu/ChebSum.ps ) uma nota que prova que o polinomio maximo do problema 2 do Duda e' o n-esimo polinomio de Chebyshev P_n (na nota eu chamo de T_n), como eu mencionei abaixo (de fato eu enunciei um resultado um pouco mais geral); sobre o modulo maximo dos coeficientes tambem e' o P_n - isso ja' era conhecido (ver o livro do Rivlin citado na nota), e tambem segue da prova do teorema da nota. A prova e' relativamente elementar: eu so' uso interpolacao de Lagrange. Como eu nao achei esse resultado na literatura, acho que vou submeter a alguma revista para ver o que acontece (em particular para ver se isso ja' e' conhecido ou nao...). Abracos, Gugu
P.S.: Alguem fez os exercicios que eu propus na mensagem abaixo ? > > Caro Duda, > O problema 2 e' realmente muito interessante. Acho que para todo n o >maximo e' atingido pelo n-esimo polinomio de Chebyshev P_n(x) (que e' >definido por cos(nx)=P_n(cos(x)), e satisfaz a recorrencia >P_(n+1)(x)=2x.P_n(x)-P_(n-1)(x), P_0(x)=1, P_1(x)=x). O valor da soma dos >modulos dos coeficientes de P_n e' s_n:=((1+raiz(2))^n+(1-raiz(2))^n)/2 >(note que (s_n) satisfaz s_(n+1)=2.s_n+s_(n-1)). > Os polinomios de Chebyshev sao extremais em muitos sentidos, sendo o mais >popular e mais importante o seguinte: se P e' um polinomio real de grau n>=1 >tal que |P(x)|<=1 para -1<=x<=1, entao o coeficiente lider (de x^n) de P tem >modulo no maximo 2^(n-1), que e' atingido por P_n. E' um bom exercicio >provar isso (Sugestao: P_n(x) tem modulo 1 para os seguintes n+1 valores de >x no intervalo [-1,1]: cos(k.pi/n), com 0<=k<=n). > Usando esse resultado (e a prova dele), nao e' muito dificil mostrar que >a soma dos modulos dos coeficientes de um polinomio P(x) de grau n tal que >|P(x)|<=1 para -1<=x<=1 e' no maximo s_n+2.s_(n-1)<2.s_n (exercicio). Eu >acho que sei provar que o maximo de fato e' s_n, mas isso da' mais trabalho. > Abracos, > Gugu > > >> >>Caros colegas da lista, >> >>tenho dois problemas a propor. O primeiro é filosófico e pedagógico. O >>segundo é sobre polinômios. Lá vão eles: >> >>Problema 1. O que vocês acham sobre o método de ensino da matemática, >>deve-se começar pelo concreto e ir em direção ao abstrato mais geral, ou >>seguir o caminho inverso? Por exemplo, estudar topologia geral depois >>estudar topologia no R^n e em seguida topologia R, como coisas particulares. >>Ou começar pelo R, depois R^n e a visão mais geral. Eu tenho a impressão que >>partir de idéias muito abstratas e gerais é uma abordagem que não dá bons >>resultados, pois começa-se a partir de um ponto onde a confusão é muito mais >>natural de acontecer. Particularmente, eu nunca comecei desse modo, sempre >>estudei as coisas na ordem usual. O Halmos, por exemplo, defende a idéia de >>estudar espaços de Hilbert simultaneamente a espaços vetoriais de dimensão >>finita. >> >>A ordem de criação da matemática é do mais concreto para o mais abstrato, >>pelo que compreendo. Depois que se viram muitas estruturas de >>características similares (espaços vetoriais com certas propriedades, p.e.), >>se retira uma noção mais geral e abstrata (espaços de Hilbert) e daí >>retiram-se propriedades mais fracas mas muito gerais. E a teoria continua >>num crescendum, até que, tavez, todos os campos se unifiquem numa grande >>visão, essa é a minha esperança. A criação da matemática, pelo que tenho na >>minha memória, segue a direção concreto --> abstrato. Mas isso não implica >>que o ensino deva seguir essa mesma direção. Existem experiências de ensino >>ou alguém já estudou algum assunto seguindo a ordem inversa? O que relata >>dessas experiências? >> >>Problema 2. Se um polinômio p(x) de grau n (particularmente gostaria de >>saber sobre o caso n=3) é tal que |p(t)| <= 1 para |t| <= 1, então o que >>podemos dizer sobre os coeficientes de p(x)? Qual o máximo módulo que eles >>podem ter? E sobre a soma em módulo dos coeficientes, qual o máximo? >> >>Este problema me surgiu na aula de Análise no R^n. É certo que tal máximo de >>fato existe, pois todas as normas em R^n são equivalentes, mas determinar o >>máximo me parece um problema interessante. Não sei se ele tem uma resposta >>simples, acho que não, mas pode-se fazer algumas estimativas do máximo. >> >>Um Abraço a todos, >>Duda. >> >>========================================================================= >>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >>========================================================================= > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================