Caros colegas, Coloquei na minha pagina (www.impa.br/~gugu , mais precisamente em www.impa.br/~gugu/ChebSum2.ps ) uma versao atualizada da nota que eu mencionei abaixo (que agora esta' organizada de um jeito um pouco diferente, incluindo a Proposicao 1, que implica esses resultados sobre o modulo maximo que eu mencionei abaixo, e incorporando correcoes achadas pelo Fabio). Ja' que ninguem escreveu sobre os problemas da minha mensagem anterior vou escrever solucoes resumidas. Abracos, Gugu
> > Caros colegas, > Coloquei na minha pagina (www.impa.br/~gugu , mais precisamente em >www.impa.br/~gugu/ChebSum.ps ) uma nota que prova que o polinomio maximo do >problema 2 do Duda e' o n-esimo polinomio de Chebyshev P_n (na nota eu chamo >de T_n), como eu mencionei abaixo (de fato eu enunciei um >resultado um pouco mais geral); sobre o modulo maximo dos coeficientes >tambem e' o P_n - isso ja' era conhecido (ver o livro do Rivlin citado na >nota), e tambem segue da prova do teorema da nota. A prova e' relativamente >elementar: eu so' uso interpolacao de Lagrange. Como eu nao achei esse >resultado na literatura, acho que vou submeter a alguma revista para ver o >que acontece (em particular para ver se isso ja' e' conhecido ou nao...). > Abracos, > Gugu > >P.S.: Alguem fez os exercicios que eu propus na mensagem abaixo ? > >> >> Caro Duda, >> O problema 2 e' realmente muito interessante. Acho que para todo n o >>maximo e' atingido pelo n-esimo polinomio de Chebyshev P_n(x) (que e' >>definido por cos(nx)=P_n(cos(x)), e satisfaz a recorrencia >>P_(n+1)(x)=2x.P_n(x)-P_(n-1)(x), P_0(x)=1, P_1(x)=x). O valor da soma dos >>modulos dos coeficientes de P_n e' s_n:=((1+raiz(2))^n+(1-raiz(2))^n)/2 >>(note que (s_n) satisfaz s_(n+1)=2.s_n+s_(n-1)). >> Os polinomios de Chebyshev sao extremais em muitos sentidos, sendo o mais >>popular e mais importante o seguinte: se P e' um polinomio real de grau n>=1 >>tal que |P(x)|<=1 para -1<=x<=1, entao o coeficiente lider (de x^n) de P tem >>modulo no maximo 2^(n-1), que e' atingido por P_n. E' um bom exercicio >>provar isso (Sugestao: P_n(x) tem modulo 1 para os seguintes n+1 valores de >>x no intervalo [-1,1]: cos(k.pi/n), com 0<=k<=n). De fato, se P e' um tal polinomio cujo coeficiente lider A tem modulo maor que 2^(n-1) entao (2^(n-1)/A).P(x) e' um polinomio com coeficiente lider 2^(n-1) de grau n tal que |P(x)| < 1 para -1<=x<=1. Assim, Q(x)=P_n(x)-P(x) e' um polinomio de grau <= n-1 (pois o coeficiente lider de P_n e' 2^(n-1), e como P_n(cos(k.pi/n))=cos(k.pi)=(-1)^k (e |P(cos(k.pi/n)|<1), o sinal de Q(cos(k.pi/n)) e' (-1)^k, para 0<=k<=n, donde Q(x) tem pelo menos uma raiz entre cos((k-1).pi/n) e cos(k.pi/n), para 1<=k<=n, e logo tem pelo menos n raizes, o que e' absurdo, pois seu grau e' menor que n. >> Usando esse resultado (e a prova dele), nao e' muito dificil mostrar que >>a soma dos modulos dos coeficientes de um polinomio P(x) de grau n tal que >>|P(x)|<=1 para -1<=x<=1 e' no maximo s_n+2.s_(n-1)<2.s_n (exercicio). Acho que vou deixar isso para depois (nao estou conseguindo lembrar do meu argumento...), mas e' claro que isso segue do fato abaixo... >>Eu acho que sei provar que o maximo de fato e' s_n, mas isso da' mais >>trabalho. Vejam a nota mencionada acima! >> Abracos, >> Gugu >> >> >>> >>>Caros colegas da lista, >>> >>>tenho dois problemas a propor. O primeiro é filosófico e pedagógico. O >>>segundo é sobre polinômios. Lá vão eles: >>> >>>Problema 1. O que vocês acham sobre o método de ensino da matemática, >>>deve-se começar pelo concreto e ir em direção ao abstrato mais geral, ou >>>seguir o caminho inverso? Por exemplo, estudar topologia geral depois >>>estudar topologia no R^n e em seguida topologia R, como coisas particulares. >>>Ou começar pelo R, depois R^n e a visão mais geral. Eu tenho a impressão que >>>partir de idéias muito abstratas e gerais é uma abordagem que não dá bons >>>resultados, pois começa-se a partir de um ponto onde a confusão é muito mais >>>natural de acontecer. Particularmente, eu nunca comecei desse modo, sempre >>>estudei as coisas na ordem usual. O Halmos, por exemplo, defende a idéia de >>>estudar espaços de Hilbert simultaneamente a espaços vetoriais de dimensão >>>finita. >>> >>>A ordem de criação da matemática é do mais concreto para o mais abstrato, >>>pelo que compreendo. Depois que se viram muitas estruturas de >>>características similares (espaços vetoriais com certas propriedades, p.e.), >>>se retira uma noção mais geral e abstrata (espaços de Hilbert) e daí >>>retiram-se propriedades mais fracas mas muito gerais. E a teoria continua >>>num crescendum, até que, tavez, todos os campos se unifiquem numa grande >>>visão, essa é a minha esperança. A criação da matemática, pelo que tenho na >>>minha memória, segue a direção concreto --> abstrato. Mas isso não implica >>>que o ensino deva seguir essa mesma direção. Existem experiências de ensino >>>ou alguém já estudou algum assunto seguindo a ordem inversa? O que relata >>>dessas experiências? >>> >>>Problema 2. Se um polinômio p(x) de grau n (particularmente gostaria de >>>saber sobre o caso n=3) é tal que |p(t)| <= 1 para |t| <= 1, então o que >>>podemos dizer sobre os coeficientes de p(x)? Qual o máximo módulo que eles >>>podem ter? E sobre a soma em módulo dos coeficientes, qual o máximo? >>> >>>Este problema me surgiu na aula de Análise no R^n. É certo que tal máximo de >>>fato existe, pois todas as normas em R^n são equivalentes, mas determinar o >>>máximo me parece um problema interessante. Não sei se ele tem uma resposta >>>simples, acho que não, mas pode-se fazer algumas estimativas do máximo. >>> >>>Um Abraço a todos, >>>Duda. >>> >>>========================================================================= >>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >>>========================================================================= >> >>========================================================================= >>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >>========================================================================= >> > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================