Manuel, Boa tarde. Muito boa a solução para este problema, mas eu não conheço o teorema de Baire, nem lembro muito bem o que era um espaço de Baire. Mas o pior é que este problema tinha um "corolário": conclua que Q não é a reunião enumerável de abertos... então eu suponho que deve haver outro meio para resolver este problema. Para ser mais completo, deixo agora a referência: Curso de Análise, vol 1 - Elon Lages Lima Capítulo 5 (Topologia da Reta) - exercício 55
Muito obrigado pela atenção, Bernardo -- Mensagem original -- >Bernardo, > > Boa tarde, > >> >> Prove que R - Q (o conjunto dos números Irracionais) não pode ser escrito >> como uma união enumerável de conjuntos fechados. >> > > Se entendi o seu problema, ele pede para provar que, com a topologia >usual de R, nao existem subconjuntos fechados de R, F_1, F_2, ..., F_n, >..., tais que a reuniao dos F_n seja R-Q, certo? > > Se for isso, suponha por abusrdo, que isso e' falso e seja, para cada n, >O_n = R - F_n. > > O_n e' aberto, qualquer que seja n, e e' facil ver que a interseccao dos >O_n e' Q. > > Como Q e' denso em R, e' claro que cada O_n e' denso em R. > > Entao, como R e' um espaco de Baire (por ser completo), segue-se do >teorema de Baire que a interseccao dos O_n e' um espaco de Baire. > > Mas isto e' um absurdo, pois Q e' enumeravel, e portanto e' a reuniao >enumeravel de fechados sem interior nao podendo assim ser de Baire. > >Manuel Garcia > > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > ------------------------------------------ Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================