Bernardo, Boa tarde,
Só dois comentários: (1) Há algo "estranho" com o "corolário", ele é completamente trivial, mas não sei como concluir do exercício original esse resultado. Veja o seguinte, Q não pode ser a renuião enumerável de abertos, simplesmente porque cada aberto não vazio de R contém um inervalo aberto (a,b) não vazio. Logo se Q fosse uma reunião de abertos (enumerável ou não) Q conteria (a,b). Iso é absurdo pois R-Q é denso em R. Talvez o corolário seja "Q não é a intercecção enumerável de abertos". De fato isso segue-se imediatamente do exercício proposto, por passagem ao complementar. (2) Não sei exatamente o contexto em que o exercício apareceu, às vezes quando se fala em R, esconde-se quando se está usando Baire. Você precisa saber alguma coisa, por exemplo que R não pode ser escrito como reunião enumerável de fechados sem interior [pode chamar isso propriedade de Baire da reta] ou algo equivalente para fazer o exercício (o que foi usado na demonstração do outro email foi algo equivalente). Se você souber dessa propriedade que enunciei acima, uma demonstração "alternativa" (que, no fundo é exatamente igual) é a seguinte. Suponha, por absurdo, que existem subconjuntos fechados de R, F_1, F_2,..., F_n,... tais que a reunião de todos os F_n seja R-Q. Como Q não tem interior (pois nenhum intervalo aberto da reta, não vazio, está contido em Q) segue-se que cada F_n tem interior vazio. Qomo Q é enumerável tome {q_k, k em N} uma enumeração de Q e defina T_j={q_j}, j=1,2,... Claro que cada T_j é fechado e de interior vazio. Então R = (R-Q) U Q seria a reunião dos F_n com os T_j. Então ter-se-ia escrito R como uma reunião enumerável de fechados sem interior, o que contraria a aupramencionada propriedade de Baire da reta. Manuel Garcia On Tue, 15 Jul 2003 [EMAIL PROTECTED] wrote: > Manuel, > Boa tarde. > > Muito boa a solução para este problema, mas eu não conheço o teorema de > Baire, nem lembro muito bem o que era um espaço de Baire. Mas o pior é que > este problema tinha um "corolário": conclua que Q não é a reunião enumerável > de abertos... então eu suponho que deve haver outro meio para resolver este > problema. Para ser mais completo, deixo agora a referência: > Curso de Análise, vol 1 - Elon Lages Lima > Capítulo 5 (Topologia da Reta) - exercício 55 > > Muito obrigado pela atenção, > Bernardo > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================