on 09.08.03 18:20, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Olá a todos! > > Considere um quadrado ABCD de lado unitário. Trace quatro circunferências de > raios unitários centradas em A, B, C e D. No centro do quadrado, forma-se > uma região limitada pelos quatro círculos. A pergunta que faço é: como > calcular a área dessa figura? > > Um modo de fazer é encontrar funções cujos gráficos sejam a borda das > circunferências e uttilizando-se uma integral calcular a área compreendida > entre as curvas. Deste modo, eu chegei à área Pi/3 + 1 - sqrt(3). Eu > gostaria de saber se existe uma solução usando somente dos recursos da > geometria euclidiana, sem usar integrais. > > Abraço aos que leram! > Duda. > Oi, Duda:
Acho que consegui. Sejam P, Q, R, S os vertices da figura cuja area procuramos, onde P eh o ponto mais proximo do lado AB, Q de BC, R de CD e S de DA. A distancia de P ao lado CD eh raiz(3)/2, pois o triangulo PCD eh equilatero. Logo, P estah a uma distancia de (raiz(3)-1)/2 do centro O do quadrado, ou seja, OP = OS = (raiz(3)-1)/2. O mesmo vale para Q, R e S. O triangulo POS eh retangulo isosceles ==> PS mede (raiz(3)-1)/raiz(2). Quanto mede o angulo PCS? Lei dos cossenos em PCS ==> PS^2 = CP^2 + CS^2 - 2*CP*CS*cos(PCS) ==> 2 - raiz(3) = 1 + 1 - 2*1*1*cos(PCS) ==> cos(PCS) = raiz(3)/2 ==> PCS = Pi/6 ==> A lunula PS (igual a diferenca entre o setor circular PCS e o triangulo PCS) tem area igual a (1/2)*CP*CS*(Pi/6 - sen(Pi/6)) = (1/2)*1*1*(Pi/6 - 1/2) = Pi/12 - 1/4. O triangulo POS tem area igual a (1/2)*OP*OS = (1/2)*((raiz(3)-1)/2)^2 = 1/2 - raiz(3)/4. Mas a area desejada eh igual a 4*(area(POS) + area(PS)) = = 4*(1/2 - raiz(3)/4 + Pi/12 - 1/4) = = Pi/3 + 1 - raiz(3), como voce tinha dito. Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================