Problema original: Achar todos os quadrados perfeitos que tenham apenas 2 algarismos significativos sendo um deles o "3".
***** O Eduardo ([EMAIL PROTECTED]) apresentou uma demonstracao de que os unicos numeros que satisfazem o enunciado sao os da forma 36*10^(2m), a qual eu ainda nao examinei. Entrementes, com algum esforco consegui encontrar demonstracoes (longas e nao muito elegantes mas espero que corretas) de que nenhum numero da forma 3*10^(m+1) + 1 ou da forma 3*10^(m+1) + 4 eh quadrado perfeito. Como estes eram os unicos numeros que ainda precisavam ser examinados (vide minha mensagem anterior sobre o assunto), concluimos que os unicos numeros que satisfazem o enunciado sao, de fato, os da forma 36*10^(2m) (m inteiro nao negativo) ***** Suponhamos que 3*10^(m+1) + 1 = N^2, para algum natural N. Como 34 e 304 nao sao quadrados, podemos supor que m >= 2. N^2 == 1 (mod 10) ==> N == 1 ou N == -1 (mod 10) ==> N = 10a +ou- 1, para algum natural a ==> N^2 = 100a^2 +ou- 20a + 1 = 20a(5a +ou- 1) + 1 ==> 3*10^(m+1) = 20a(5a +ou- 1) ==> 3*2^(m-1)*5^m = a(5a +ou- 1) 5^m | a ==> a = b*5^m, para algum natural b ==> 3*2^(m-1) = b*(b*5^(m+1) +ou- 1) Caso 1: b eh par b*5^(m-1) +ou- 1 eh impar ==> 2^(m-1) | b ==> b = c*2^(m-1) para algum natural c ==> 3 = c*(c*2^m*5^(m-1) +ou- 1) Mas: m >= 2 ==> c*2^m*5^(m-1) +ou- 1 >= 20*c +ou- 1 > 3 ==> contradicao Caso 2: b eh impar 2^(m-1) | b*5^(m+1) +ou- 1 ==> b*5^(m+1) +ou- 1 = c*2^(m-1) para algum natural c ==> 3 = b*c ==> b = 1 e c = 3 ou b = 3 e c = 1 b = 1 e c = 3 ==> 5^(m+1) +ou- 1 = 3*2^(m-1) ==> contradicao, pois para m >= 2, 5^(m+1) - 1 > 3*2^(m-1) (inducao facil) b = 3 e c = 1 ==> 3*5^(m+1) +ou- 1 = 2^(m-1) ==> contradicao (idem) Conclusao: nenhum numero da forma 3*10^(m+1) + 1 eh quadrado perfeito. ***** Suponhamos que 3*10^(m+1) + 4 = N^2, para algum natural N. Como 34, 304 e 3004 nao sao quadrados, podemos supor que m >= 3. N^2 == 4 (mod 10) ==> N == 2 ou N == -2 (mod 10) ==> N = 10a +ou- 2, para algum natural a ==> N^2 = 100a^2 +ou- 40a + 4 = 20a(5a +ou- 2) + 4 ==> 3*10^(m+1) = 20a(5a +ou- 2) ==> 3*2^(m-1)*5^m = a(5a +ou- 2) 5^m | a ==> a = b*5^m para algum natural b ==> 3*2^(m-1) = b(b*5^(m+1) +ou- 2) Caso 1: b eh par b = 2c, para algum natural c ==> 3*2^(m-1) = 2c(2c*5^(m+1) +ou- 2) ==> 3*2^(m-3) = c(c*5^(m+1) +ou- 1) Caso 1.1: c eh par c*5^(m-1) +ou- 1 eh impar ==> 2^(m-3) | c ==> c = d*2^(m-3) para algum natural d ==> 3 = d*(d*2^(m-3)*5^(m-1) +ou- 1) ==> contradicao, pois d*2^(m-3)*5^(m-1) +ou-1 >= 24 Caso 1.2: c eh impar ==> c*5^(m-1) +ou- 1 eh par ==> c*5^(m-1) +ou- 1 = 2^(m-3)*d, para algum natural d ==> 3 = c*d ==> c = 1, d = 3 ou c = 3, d = 1 Ambos os casos resultam em contradicao, conforme visto acima Caso 2: b eh impar b(b*5^(m-1) +ou- 2) eh impar ==> 3*2^(m-1) eh impar ==> m = 1 ==> contradicao, pois estamos supondo m >= 3. Conclusao: nenhum numero da forma 3*10^(m+1) + 4 eh quadrado perfeito ***** Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================