On Thu, Aug 14, 2003 at 02:39:47PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote: > Olá pessoal! > > [Agradeço ao Nicolau pela solução enviada... teorema de Baire era o mais > natural...] > > Uma questão de álgebra que não estou conseguindo resolver, do livro de > introdução a álgebra do Hernstein. > > QUESTÃO. Um grupo abeliano finito possui dois subgrupos, um de ordem N e > outro de ordem M. Mostre que ele trambém possui um subgrupo de ordem MMC{ M, > N }. > > Eu consigui resolver a questão no caso particular em que o grupo é cíclico. > No caso geral, eu pensei em usar o produto de subgrupos MN, mas a ordem pode > ser maior que MMC{ M, N }. O interessante é que unindo esta questão ao > teorema de Silow para grupos abelianos, acho que se demonstra a existência > de subgrupos de qualquer ordem divisora da ordem do grupo original. Este > resultado não é forte demais?
Não. Se G é um grupo abeliano finito e h é um divisor de |G| então existe um subgrupo H de G com |H| = h. O que aliás resolve trivialmente a sua questão: se N e M são divisores de |G| então mmc{M,N} é divisor de |G|. O fato que eu enunciei acima é corolário do teorema de classificação de grupos abelianos finitos. E é completamente falso para grupos não abelianos. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================