On Mon, Aug 25, 2003 at 03:14:14PM +0000, leonardo mattos wrote: > Ola pessoal, > Ha algum tempo quando vcs estavam discutindo sobre os mais belos > teoremas da matematica algumas pessoas citaram o teorema de dandelin. Oq > seria este teorema? Sera q alguem poderia explicar c possivel do q c trata?
Acho que é o teorema belga, aquele que leva o Wagner a fazer os desenhos no quadro de que o Morgado falou. Se é mesmo isso, o assunto foi tratado meio tangencialmente nesta lista. O objetivo é provar que a interseção de um plano com um cone é uma das três curvas abaixo: * sejam dados dois pontos fixos F1 e F2 no plano (os focos) e um número real positivo 2c: a curva é o conjunto dos pontos P tais que a soma das distâncias PF1 e PF2 é igual a 2c; * sejam dados dois pontos fixos F1 e F2 no plano e um número real positivo 2c: a curva é o conjunto dos pontos P tais que o módulo da diferença entre as distâncias PF1 e PF2 é igual a 2c; * sejam dado um ponto fixo F (o foco) e uma reta r no plano: a curva é o conjunto dos pontos P tais que as distâncias PF e Pr são iguais. O primeiro tipo de curva se chama elipse, o segundo hipérbole e o terceiro parábola. O círculo é um caso especial de elipse (F1 = F2) e a parábola é um caso limite de elipse ou de hipérbole. Estas curvas todas são chamadas de cônicas. Imagine um cone circular reto e um plano cortando o cone em uma curva simples fechada com toda a cara de ser uma elipse: vamos provar que esta curva é mesmo uma elipse. Não é difícil ver que há duas esferas tangentes ao plano e ao cone: cada uma destas esferas tangencia o cone em um círculo inteiro que está claramente contido em um plano perpendicular ao eixo do cone. Chame os círculos de C1 e C2 e os pontos de tangência entre as esferas e o plano de F1 e F2. Seja P um ponto da interseção. A distância PF1 é igual à distância PC1 já que ambos segmentos tangenciam a esfera. Analogamente PF2 = PC2. Mas PC1 + PC2 é a distância entre os dois círculos, que é claramente constante. Os outros casos são análogos. Claro, com uma figura fica bem melhor. Toda a graça parece ser fazer isso de forma que Euclides entendesse, sem usar geometria analítica nenhuma. Usando geometria analítica, e sabendo que as curvas acima são exatamente as de grau 2, temos também a demonstração que eu dei em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200308/msg00263.html e que repito abaixo: > Por mim a demonstração "certa" consiste em observar que o cone tem equação > de grau 2 (x^2 + y^2 = z^2) e rodar ou transladar não altera o grau. > Tomar a interseção com um plano, digamos o plano z=0, já que rodamos, > também não altera o grau (só estamos eliminando os termos que envolvem z). > Logo a interseção é uma curva de grau 2 e já sabemos o que estas curvas são. Wagner e eu já debatemos os méritos relativos das duas demonstrações. Acho que nossos pontos de vista ficaram claros nas mensagens que se seguem á minha, já citada acima. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================