a) só 1 ponto (a origem);
b) 2 retas que se cruzam na origem;
c) 1 única reta;
Mas esses não são os casos mais interessantes.
Se o plano não passa pela origem, então a intersecção pode ser:
d) elipse, quando a interseção do plano com o cone fica contido num conjunto limitado;
e) uma parábola, quando o plano é paralelo a uma geratriz do cone, ou seja, a intersecção do cone duplo com o plano tem apenas 1 componente conexa;
f) uma hipérbole, quando o ângulo entre o plano e o cone é tal que sua interseção possui 2 componentes conexas, uma em cada semi-espaço z>0 e z<0. Repare que esse caso inclui quando o plano é paralelo ao eixo do cone, dando também uma hipérbole.
Para se ter uma idéia do porque disso, pode-se escolher um plano com equação bastante simplificada pela simetria do problema, substituí-la na equação do cone e encontrar a projeção da curva no plano xy, xz ou yz. Também precisa lembrar que transformações lineares invertíveis (no caso, as projeções) não vão mudar o tipo da cônica.
Se pensarmos na solução da equação quadrática geral com 2 variáveis:
ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0
então as soluções possíveis no plano são as cônicas já mencionadas, podendo ocorrer também:
a) 2 retas paralelas;
b) vazio;
que não podem ser obtidas pela intersecção do cone duplo com um plano.
Por curiosidade, alguém sabe dizer se, por definição, essas últimas soluções também são chamadas de cônicas?
Um abraço. Pedro.
Em Mon, 25 Aug 2003 18:09:09 -0300, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
O Teorema de Dandelin eh aquela que trata das chamadas conicas, ou seja das curvas que se obtem ao se seccionar um cone reto com um plano. Se o plano for paralelo ao eixo do cone, obtemos uma parabola; se for paralelo a uma de suas geratrizes, obtemos uma hiperbole; e se cortar toda a supeficie lateral do cone, obtemos uma elipse (que eh um circulo se o plano for perpendicular ao eixo do cone). A demonstracao eh muito bonita e pode ser encontrada nos bons livros de geometria.
Abracos Artur
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