Quale o teorema de Gauss-Bonet? --- "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > On Thu, Aug 28, 2003 at 07:19:16AM -0300, > Frederico Reis Marques de Brito wrote: > > OLá pessoal. > > > > Confesso que nunca tive interesse por > geometria espacial. Mas outro dia > > parei a perguntar-me se, similarmente ao que > ocorre na geom. plana, há > > alguma fórmula para o angulo interno formado > pelas faces de um poliedro > > regular e, neste caso, uma fonte para a > demonstracao. > > Estudar os ângulos entre faces de um poliedro é > algo bem mais sutil > de que os ângulos entre lados de um polígono. > Você pode calcular > os ângulos entre as faces dos poliedros > regulares mas não são múltiplos > racionais de pi, são arcos cujo seno ou cosseno > é um número algébrico > de grau baixo. > > Um resultado fácil é o seguinte. Considere um > poliedro convexo. > A partir de cada vértice e para cada face > adjacente ao vértice, > trace uma semireta exterior ao sólido e > perpendicular à face. > Temos assim um ângulo sólido em cada vértice: > chamemos este > ângulo sólido de externo. A soma dos ângulos > sólidos externos é 4pi. > > Uma versão deste teorema que esteve no banco da > IMO1981 (mas não na prova) > é o seguinte problema. Em uma região do espaço > há n planetas esféricos > de mesmo raio. Prove que a área total em todos > os planetas a partir > da qual não se vê nenhum dos outros planetas no > céu > é igual à área de um dos planetas. > > Isto é uma versão discreta do teorema de > Gauss-Bonnet. > > []s, N. > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > =========================================================================
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