X finito <=> existe f : X -> X tq os únicos conjuntos estáveis associados a
f são triviais.
(=>)
sem perda de generalidade, assuma que X = {1, 2, ..., n}
assuma que a nossa f é:
f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 4, ..., f(n-1) = n, f(n) = 1
seja S não vazio contido em X
|f(S)| = |S| logo f(S) contido em S <=> f(S) = S
agora tome max|S| = k, então f(k) pertence a S, mas f(k) = k+1 se k < n, mas
k é máximo, logo n pertence a S e então 1 também pertence, e 2, e 3, ...., e
S = X.
(<=)
existe f : X -> X tq os únicos conjuntos estáveis associados a f são
triviais
suponha X infinito, então pra todo Y contido em X
f(Y) não está contido em Y
primeiro temos que f é sobrejetora, pois se não for, tomamos ImX
propriamente contido em X
evidentemente f(ImX) contido em ImX e segue que f possui um cj. estável
associado não trivial.
suponha que f não seja injetora:
f(a) = f(b), para algum a != b.
considere W = {a, f(a), f²(a), f³(a), ....}
f(W) contido em W
se W for subconjunto próprio de X chegamos a uma contradição.
senão, para algum i, f^i(a) = b, pois b pertence a X, mas então f^(i+1)(a) =
f(a) e temos que W é finito e por tanto propriamente contido em X.
conclusão:
f é bijetora
se W = X, temos que X é infinito enumerável pois W é infinito enumerável.
agora seja n tq f(n) = a, se W = X, então n = f^i(a) para algum i, mas então
f^(i+1)(a) = a e W é finito, ou seja W está propriamente contido em X e f(W)
= W, contradição.
logo X não pode ser infinito.
será que eu acertei?
----- Original Message -----
From: <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Friday, September 12, 2003 5:56 PM
Subject: [obm-l] Probleminha
Olá Amigos,
Não estou conseguindo resolver esse problema. Seja f:X -> X uma função.
Um subconjunto Y contido em X chama - se estável relativamente a f quando
f(Y) contido em Y. Prove que um conjunto X é finito se e so se existe uma
função f: X -> X que só admite os subconjuntos estávesi vazio e X.
Este é o problema 17 da página 45 do livro Curso de Análise 1.
Obrigado
Cícero Thiago
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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