Ola pessoal. Inicialmente, agradeco ao incansavel Claudio Bufarra pela resolucao lá da equacao da involute da circunferencia.
Bom estou com o seguinte problema
Seja A = {e^a[1].x, e^a[2].x, e^a[3].x, ..., e^a[n]x} *(obs lê-se e elevado a a indicie n vezes x)
onde a[1] != a[2] != ... != a[n] e pertencem a R.
Prove que A é L.I.
Hmmm, acho que indução resolve o problema. Suponha que este conjunto seja LI quando tem n-1 elementos. Vamos olhar para o caso de n elementos. Se este conjunto fosse LD, existiriam numeros c_i reais (estou supondo que o corpo é o corpo dos reais), nem todos nulos, tais que
c_1 * e^(a_1*x) + c_2 * e^(a_2*x) + ... + c_n * e^(a_n*x) = 0
Bom, c_n nao pode ser zero, pois neste caso todos os c_i o seriam (o conjunto de n-1 elementos é LI por hipotese). Entao podemos isolar a última parcela desta soma e obter e^(a_n*x) como combinação linear dos outros vetores. Resumindo, poderíamos escrever e^(a_n*x) como combinação linear dos outros vetores.
e^(a_n*x) = soma ( -(c_i/c_n) * e^(a_i*x), 1<=i<=(n-1) )
ou
e^(a_n*x) = soma ( b_i * e^(a_i*x), 1<=i<=(n-1) ) onde b_i = -(c_i/c_n)
Mas isto é um absurdo porque esta igualdade vale para todo x real. A idéia é que temos poucos graus de liberdade (os n-1 coeficientes b_i) para satisfazer muitas igualdades. Escolhendo n valores espertos para x, descobriremos que não existem os tais coeficientes b_i que satisfaçam todos os nossos pedidos. Logo, quaisquer que sejam os coeficientes b_i, sempre existe algum ponto na função e^(a_n*x) que não é atingido pelo lado direito da igualdade. Então conjunto em questão (de n elementos) deve ser LI.
Resta apenas mostrar que este conjunto é LI para n = 1 (caso base da indução). Mas
c * e^(a_1*x) = 0 => c = 0 ou e^(a_1*x) = 0 => c = 0.
[]s Felipe Pina
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