On Sat, Sep 20, 2003 at 08:49:39AM -0700, niski wrote: > Ola pessoal. Inicialmente, agradeco ao incansavel Claudio Bufarra pela > resolucao lá da equacao da involute da circunferencia. > Bom estou com o seguinte problema > Seja A = {e^a[1].x, e^a[2].x, e^a[3].x, ..., e^a[n]x} *(obs lê-se e > elevado a a indicie n vezes x) > onde a[1] != a[2] != ... != a[n] e pertencem a R. > Prove que A é L.I. > > Eu pensei em contruir o Wronskiano e se ele for identicamente nulo então > seria L.I certo?
Não está errado; há várias soluções. ============================================================================= A minha favorita é olhar o comportamento em infinito. Desculpe mas vou tirar os [] da sua notação. Suponha sem perda a1 < a2 < ... < an. Suponha por absurdo que f(x) = c1 * e^(a1 x) + ... + cn * e^(an x) seja identicamente igual a 0 com pelo menos um dos coeficientes não nulo, sem perda cn. Assim lim_{x -> infinito} e^(-an x)*f(x) = cn mas por outro lado como f(x) = 0 temos cn = 0. ============================================================================= Outra solução é por variável complexa. A função f(z) = c1 * e^(a1 z) + ... + cn * e^(an z) é inteira (holomorfa em C). Vamos observar a função g(z) = e^(- ak z) * f(z) = ck + somatório_{j diferente de k} cj * e^((aj - ak) z) Na reta imaginária (parte real igual a 0) cada um dos termos do somatório oscila tendo média zero. Assim o valor médio de g(z) em um grande intervalo nesta reta é ck. Ou seja, se f é identicamente 0 então cada coeficiente é igual a 0, como queríamos provar. ============================================================================= []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================