From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: Re: [obm-l] Ime... Date: Wed, 22 Oct 2003 13:50:05 -0200
on 22.10.03 12:26, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Acredito que esta questão já tenha sido feita na lista....Se alguém tiver
paciência de repassa-la para mim....agradeço muito..Acho que estou
atropelando os conceitos os conceitos.
Considere uma matriz A, nXn, de coeficientes reais, e k um número real
diferente de 1. Sabendo-se que A^3=k.A, prove que a matriz A+I é invertível,
onde I é a identidade de ordem n.
Vou usar um truquezinho que aprendi aqui na lista mesmo (se nao me engano com o Villard).
A ideia eh buscar uma inversa da forma x*A^2 + y*A + z*I, onde x, y, z sao numeros reais a serem determinados.
(A + I)*(x*A^2 + y*A + z*I) = I ==> x*A^3 + (x+y)*A^2 + (y+z)*A + (z-1)*I = 0 ==> (x+y)*A^2 + (y+z+k*x)*A + (z-1)*I = 0.
Agora eh soh igualar os coeficientes a zero. Fazendo z = 1, cairemos no sistema: x + y = 0 y + k*x = -1
Solucao: x = 1/(1 - k) e y = -1/(1 - k) (OK, pois k <> 1).
Logo, a matriz B = (1/(1-k))*A^2 - (1/(1-k))*A + I eh tal que (A+I)*B = I ==> A + I eh inversivel.
Um abraco, Claudio.
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