Oi, Cesar: Vamos por partes:
1) Se sqrt(8m - 67) eh inteiro, entao 8m - 67 = n^2 para algum inteiro n. Repare que isso implica que 8m - 72 = n^2 - 5, ou seja, que n^2 - 5 eh multiplo de 8 ou, equivalentemente, que n^2 deixa resto 5 quando dividido por 8. Soh que se n deixa resto 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 quando dividido por 8, entao n^2 deixa resto 0, 1, 4, 1, 0, 1, 4, 1, respectivamente. Ou seja, n^2 nunca deixa resto 5 na divisao por 8. Logo, n^2 - 5 nunca serah multiplo de 8. Em particular, n^2 - 5 nunca serah igual a 8m - 72 para algum m. Portanto, 8m - 67 nunca serah igual a n^2. Essa historia de resto na divisao por 8 fica muito simplificada pelo uso de congruencias - um conceito basico de teoria dos numeros. Consulte as Eurekas. Elas tem varios artigos interessantes a respeito. *** 2) A sua afirmativa nao estah correta. De fato, quando m*p = 34^2, m*p - 67 = 33^2. No entanto, ha infinitos outros valores de m*p tais que m*p - 67 eh quadrado perfeito. Basta tomar m*p = 67 + N^2, para algum inteiro N. Alem disso, para N impar, m*p serah par e, portanto, composto. Um abraco, Claudio. on 24.10.03 18:08, Cesar Ryudi Kawakami at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Eu provei isso de um jeito muito estranho durante a prova da OBM... > > Eu afirmei que m.p - 67 só será quadrado perfeito caso m.p seja igual à 34^2. > > Foi algo assim: > > Lembrando que a soma dos n primeiros números ímpares resulta em n^2, e > sendo 67 o 34o. número ímpar positivo, podemos ver que m.p - 67 será um > quadrado perfeito se, e apenas se, m.p = 34^2 e m.p - 67 = 33^2. > > Agora, basta provar que em 8m = 34^2 m não é inteiro. > > m = ((2.17)^2)/8 > m = (2.2.17.17)/8 > m = (17^2)/2 > > Assim, 8m - 67 nunca será quadrado perfeito, e, conseqüentemente, sqrt(8m - > 67) nunca será racional, sequer inteiro. > > Qualquer erro, eu pediria pra avisar... :-) > > Um abraço, > > Cesar Ryudi Kawakami > > At 23:02 23/10/2003, you wrote: >> on 23.10.03 20:24, Cesar Ryudi Kawakami at [EMAIL PROTECTED] wrote: >> >>> ... >>> sqrt(8m - 67) nunca será racional, sequer inteiro >>> ... >> >> Oi, Cesar. >> >> A sua afirmativa estah correta, mas qual a sua justificativa para ela? >> >> Um abraco, >> Claudio. > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================