On Wed, Nov 19, 2003 at 05:59:39PM -0200, Cláudio (Prática) wrote: > > Mas mais seriamente não acho óbvio como calcular > > P(cara), P(coroa) ou P(em pé) para um cilindro. > > > Abstraindo de todas as complicações físicas e de engenharia (atrito, choque > elástico vs inelástico, imperfeições do cilindro e da superfície onde ele é > jogado, etc.), me parece que um cilindro homogêneo com h = d*raiz(3) (e não > h = d/raiz(3) como eu havia escrito antes) tem as três probabilidades > iguais. > > Pra mim é claro que P(em pé) -> 0 (1) quando h -> 0 (+infinito). Logo, > supondo que P(em pé) é uma função contínua de h (hipótese que não me parece > tão absurda), deve haver h tal que P(em pé) = 1/3. > > Para um cilindro de altura = h e diâmetro = d, eu diria que P(em pé) = 1 - > (2/Pi)*arctg(h/d). Eu simplesmente determinei o ângulo de contato entre o > cilindro e a superfície para o qual o reta unindo o centro de massa ao ponto > de contato é perpendicular à superfície.
O modelo mais simples e razoavelmente realista que me ocorre é o seguinte: o sólido cai com uma orientação aleatória em R^3 (determinada por uma matriz aleatória de SO(3), o grupo das matrizes ortogonais, que tem uma única medida natural). Suponha que ele cai sem estar rodando e que ao encostar na mesa (ou chão, ou seja lá o que for) acaba indo repousar sobre a face sobre a qual cair a projeção vertical do centro de massa. Podemos simplificar um pouco escolhendo aleatoriamente um vetor na esfera S^2 centrada no centro de massa e vendo onde vai parar o prolongamento do vetor. No caso do cilindro a esfera fica dividida em três partes, duas calotas polares correspondentes às duas faces e uma região tropical correspondente à superfície cilíndrica. As áreas destas regiões são proporcionais às alturas. Podemos tomar a esfera de diâmetro sqrt(h^2+d^2) e assim a região tropical tem probabilidade h/sqrt(h^2+d^2). Para que isto seja igual a 1/3 devemos ter sqrt(h^2+d^2) = 3h ou h^2+d^2 = 9h^2 ou h = d/sqrt(8). Mais este modelo me parece muito simplista... sei lá... []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================