Oi Claudio, Seja f o polinômio. Acho que uma ideia eh a seguinte: Se m= prod (i=1 até k) (p_i^(a_i)), basta verificarmos que existem n_1,..., n_k tais que
f(n_i) = 0 (mod p_i^a_i), pois tendo isso o teorema chinês dos restos ganrante que existe m satisfazendo: m = n_1 ( mod p_1^a_1) . . . m = n_k ( mod p_k^a_k) e como a = b ( mod T ) => f(a) - f(b) ( mod T ), o resultado segue. Basta então se preocupar com os primos. Isso eu acho que dah pra mostrar por indução. Observe o seguinte: p=2: basta tomar x ímpar. p>2: vamos usar residuos quadráticos. Seja (a/p) in {-1, 0, 1} o simbolo de Legendre. Então: (13/p).(17/p)(221/p)=(13^2/p).(17^2/p)= 1. Logo, como temos três fatores, algum deles é igual a 1, pois caso contrario (13/p).(17/p)(221/p) = (-1)(-1)(-1) = -1 Suponha que tal fator seja (13/p). Então existe n tal que n^2 - 13 = 0 ( mod p ). Para potências maiores de p, eu vou pensar um pouquinho! Ateh mais, Yuri -- Mensagem original -- >Oi, pessoal: > >Aqui estah um problema levemente relacionado com o problema 1 da OBM nivel >3 >desse ano (3a. fase): > >Prove que, para todo inteiro m (m <> 0), existe um inteiro x tal que: >P(x) = (x^2 - 13)*(x^2 - 17)*(x^2 - 221) >eh divisivel por m. > >(ou seja, pra quem conhece congruencias, P(x) == 0 (mod m) tem solucao para >todo m <> 0) > >Um abraco, >Claudio. > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > []'s, Yuri ICQ: 64992515 ------------------------------------------ Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================