Oi, Duda (e demais colegas): Encontrei outra sequencia crescente de inteiros positivos que nao tem densidade bem definida:
b(n) = n-esimo inteiro positivo cujo algarismo da esquerda (base 10) eh igual a 1. Assim, a sequencia eh: 1, 10, 11, ..., 19, 100, 101, ..., 199, 1000, 1001, ..., 1999, 10000, 10001, ..., 19999, 100000, ... Na lista acima, teremos: Linha 1: b(1) Linha 2: b(2) - b(11) Linha 3: b(12) - b(111) Linha 4: b(112) - b(1111) ... O primeiro elemento da linha k eh: b((10^(k-1)-1)/9+1) = 10^(k-1) O ultimo elemento da linha k eh: b((10^k-1)/9) = 2*10^(k-1) - 1 Assim, a sequencia b(n)/n tem uma subsequencia da forma: b1(k) = 10^(k-1)/((10^(k-1) - 1)/9 + 1), convergindo para 9, e tambem uma subsequencia da forma: b2(k) = (2*10^(k-1) - 1)/((10^k - 1)/9), convergindo para 9/5. **** Soh pra complementar: Dada uma sequencia crescente (a(n)) de inteiros positivos, se definirmos a sequencia (A(m)) como sendo A(m) = numero de termos da sequencia (a(n)) que sao <= m, teremos: A(a(n)) = numero de termos de (a(n)) menores ou iguais a a(n) = n, ou seja, a sequencia (A(m)) eh uma inversa a esquerda da sequencia (a(n)). Assim, se (a(n)) tem densidade definida, digamos igual a d, entao: d = lim A(m)/m = lim A(a(n))/a(n) = lim n/a(n). Reciprocamente, se lim n/a(n) existe eh eh igual a d, entao (a(n)) tem densidade igual a d. Repare que a(A(m)) = A(m)-esimo termo de (a(n)) = termo de (a(n)) cuja ordem eh igual ao numero de termos de (a(n)) menores ou iguais a m. Isso quer dizer que a(A(m)) = maior termo de (a(n)) que eh menor ou igual a m. Infelizmente, (A(m)) nao eh, em geral, uma inversa a direita de (a(n)). Naturalmente, se (a(n)) tiver um termo igual a m, entao a(A(m)) = m. Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
