[obm-l] (n!)^(1/n) -> iinf

[Artur Costa Steiner]

Um exercicio interessante eh demonstrar que (n!)^(1/n) -> inf. A solucao que eu encontrei baseia-se no fato de que, se x(n) eh uma sequencia de numeros reais positivos, entao vale a seguinte desigualdade: lim inf (x(n+1)/x(n)) <= lim inf (x(n)^(1/n)) <=  lim sup (x(n)^(1/n)) <=  lim sup  (x(n+1)/x(n)).   Desta desigualdades segue-se automaticamente que,  se (x(n+1)/x(n)) convergir, entao  x(n)^(1/n)) converge para o mesmo limite da primeira. E se (x(n+1)/x(n)) -> inf (limite infinito no sistema dos reais expandidos), entao x(n)^(1/n)) -> inf. Se definirmos x(n) = n!, entao x(n+1)/x(n) = (n+1) -> inf, o que implica que  x(n)^(1/n) = (n!)^(1/n) -> inf. Assim fica bem facil. Eu tentei tambem demonstrar diretamente, sem usar a razao x(n+1)/x(n), mas parece um tanto complicado. Tentei dermostrar por inducao finita que (n!)^(1/n) > n/2, mas tornou-se akgebricamente complicado. Artur