On Mon, Jan 26, 2004 at 02:53:55AM -0200, Artur Costa Steiner wrote: > Esta demonstracao baseada na formula de Stirling eh de fato interessante. Eu > via a deducao desta formula a muito tempo. Eh baseada na integral de Ln(x), > nao eh isto?
A demonstração da fórmula de Stirling, você quer dizer? Bem, há muitas demonstrações mas sim, uma das mais conhecidas começa estimando int_1^n log(t) dt = n log n - n + 1 pela regra dos trapézios: a estimativa dá log(2) + log(3) + ... + log(n-1) + (log(n)/2) = log(n!) - (log(n)/2) Como a função log tem concavidade para baixo temos log(n!) < n log n - n + (log(n)/2) + 1 Defina a_n = (int_n^{n+1} log t dt) - ((log(n) + log(n+1))/2): ou seja, a_n é a área da "bochechinha" que o gráfico de log faz acima da reta secante entre n e n+1. Claramente a_n > 0 para todo n >= 1 e log(n!) = n log n - n + (log(n)/2) + 1 - ( a1 + a2 + ... + a_{n-1} ). Não é difícil provar que a série a1 + a2 + ... converge; seja C o seu limite; temos log(n!) > n log n - n + (log(n)/2) + 1 - C para todo n e a diferença tende a zero. Tomando a exponencial dos dois lados temos n! > n^n e^{-n} sqrt(n) e^{1-C} e o quociente tende para 1 de forma monótona decrescente quando n tende a infinito. Falta provar que e^{1-C} = sqrt(2 pi), mas isto fica para outra vez. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================