On Tue, Jan 27, 2004 at 04:07:45PM -0200, Artur Costa Steiner wrote: > Conside a classe de funções f que satisfazem f(x) = f(x+1) + f(x-1) > para todo x. Prove que toda função nesta classe é periódica e determine > todos os valores possíveis para o período fundamental. > > []s, N. > > Temos que f(x+1) = f(x+2) + f(x) = f(x+2) + f(x+1) + f(x-1). Logo, f(x+2) = > -f(x-1) para todo real x. Decorre portanto que f(x+3) = -f(x) e que f(x+6) > = -f(x+3) = f(x). Logo, f eh periodica e 6 e um periodo da mesma.
Tudo o que você disse é verdade mas você não resolveu o problema de forma completa. O fato de 6 ser um período só garante que o período fundamental, se existir, é da forma 6/n para algum inteiro positivo n. Você não esclareceu se existem funções nesta classe com períodos fundamentais 3, 2, 3/2, 6/5, 1, 6/7, ... O período fundamental pode não existir se o conjunto dos períodos não tiver mínimo; para funções contínuas isto só ocorre se f for constante mas a função característica de Q, f(x) = 1 se x é racional e f(x) = 0 se x é irracional, tem qualquer número racional como período. É bem óbvio que a função constante igual a 0 está na nossa classe. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================