on 18.02.04 16:29, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: > On Wed, Feb 18, 2004 at 03:57:31PM -0300, Cláudio (Prática) wrote: >> HelpOi, pessoal: >> >> Aqui vai um que não está me parecendo muito trivial. >> >> Sejam: >> G: um grupo abeliano finito de ordem ímpar, >> e >> f: G -> G: uma bijeção tal que f(x^2) = f(x)^2 para todo x em G. >> >> É verdade que f(x*y) = f(x)*f(y) para todos x, y em G ? > > É falso. > > Tome G = Z/(7), a operação * é + e a identidade é 0. > Tome f dada por: > > f(0) = 0 > f(1) = 1 > f(2) = 2 > f(3) = 6 > f(4) = 4 > f(5) = 3 > f(6) = 5 > > É fácil verificar que isto é um contraexemplo. > > []s, N.
Verificado. Entao, no fim das contas, era trivial!!! O que nao ia ser muito trivial era demonstrar que f eh um automorfismo, como eu estava tentando fazer... Obrigado e um abraco, Claudio. **** Obviamente, f eh uma bijecao e |Z/(7)| = 7. x f(x) 2x f(2x) 2f(x) 0 0 0 0 0 1 1 2 2 2 2 2 4 4 4 3 6 6 5 5 4 4 1 1 1 5 3 3 6 6 6 5 5 3 3 Logo, f(2x) = 2f(x) para todo x em Z/(7) No entanto, f(4+5) = f(2) = 2 f(4) + f(5) = 4 + 3 = 0 <> 2 ==> f nao eh um homomorfismo. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================