On Thu, Feb 19, 2004 at 01:43:51AM -0300, Claudio Buffara wrote: > 2) Seja G um grupo tal que o centralizador de cada elemento distinto da > identidade eh um grupo ciclico infinito. Nesse caso, G eh necessariamente um > grupo livre?
Não, mas eu não sei dar nenhum exemplo realmente fácil. O melhor que eu tenho a oferecer é o grupo fundamental do bitoro. Ele pode ser descrito por geradores e relações como <a,b,c,d|[a,b][c,d]=e>. Uma forma de provar isto é a seguinte. Dê uma estrutura hiperbólica para o bitoro: seu recobrimento universal agora é o plano hiperbólico. O grupo fundamental se encarna como um grupo de isometrias de plano hiperbólico, ou, equivalentemente, como um subgrupo de PSL(2,R). A coisa notável é que todos os elementos deste grupo são hiperbólicos, i.e., todos têm autovalores reais quando interpretados como elementos de PSL(2,R): isto vem do fato de nenhuma transformação de recobrimento poder ter pontos fixos (f(x) = x) ou quase fixos (|f(x) - x| < epsilon). Mas duas matrizes hiperbólicas em SL(2,R) só comutam se seus autovetores forem iguais, ou seja, só se ambas estiverem em um subgrupo de dimensão 1. Como nosso grupo é discreto, isto dá a conclusão desejada (todo centralizador é cíclico infinito). Em tempo, PSL(2,R) é o quociente de SL(2,R) pelo subgrupo {+-I}. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================