>> 2) Seja = a seguinte a relaçao entre pontos de um espaço topológico X: x=y >> sse nao existe nenhuma cisao {A,B} de X com x em A e y em B. Mostre q = eh >> uma relaçao de equivalencia sobre X. As classes de equivalencia sao as >> pseudocomponentes de X. Mostre q elas sao fechadas e q cada uma eh uma >uniao >> de componentes conexas de X.
Vai aqui um esboço, para alguém melhorarar: Mostrar que é rel. de equival. : i) Reflexiva (x,x) em R ==> basta tomar A = {x} e B = A-{x} ii) Simétrica: (x,y) em R ==> Existe x pert A e y pert B e {A,B} cisão de X logo y pert B e x pert A e {B,A} é cisão de X logo (y,x) em R. ii) Transitiva: (x,y) em R e (y,z) em R ==> x pert A, y pert B, A e B separam x e y, X = A U B y pert B, z pert C, B e C separam y e z, X = B U C ==> X = (A U B) U (B U C), x pert (A U B) pois x pert A. z pert a (B U C) pois z pert a C ==> logo (A U B) e (B U C) separam x e z ==> (x,z) em R. No caso (i), A ={x} é fechado ==> o complementar de x, A - {x} é aberto. Mas A é aberto e fechado logo A - {x} é fechado (tá certo isso ?). Como o espaço todo é conexo e {x} é conexo A - {x} é conexo. No caso (ii) podemos tomar x pert A e y pert B. Se A é aberto então A' é fechado e podemos tomar B = X - A = A' e neste caso como X é conexo A' B - A é conexo. Se A tiver mais de um ponto e não for aberto podemos tomar A como tendo um único ponto, i.e., A = {x} O caso (iii) dá pra mostrar da mesma forma que o caso (ii). >> >> 3) Seja X um subespaço de RxR formado pela uniao dos pontos (0,0), (0,1) e >os >> segmentos {1/n}x[0,1] (n = 1,2,...). Encontre as pseudocomponenets de X. > >A coisa surpreendente aqui é que (0,0) e (0,1) estão na mesma >pseudocomponente, aliás formam uma pseudocomponente, apesar de não Desculpe minha ignorância. O que é pseudocomponente?? >estarem em uma mesma componente conexa. > >[]s, N. >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > >---------- _________________________________________________________ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================