on 07.03.04 00:59, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Cláudio, > > E como se pode demonstrá-la para o caso de serem dois inteiros positivos e > não primos entre si? (O caso de quando são primos entre si me pareceu > imediato, mas esse já nem tanto...) > > > Obrigado, > > Rafael de A. Sampaio >
Sejam d = mdc(a,b) e m = mmc(a,b) m = mmc(a,b) = menor inteiro positivo tal que: 1) a | m e b | m e 2) se a | k e b | k entao m | k Sabemos que a = d*u e b = d*v com u, v inteiros positivos primos entre si. Seja q = d*u*v. Entao, q = a*v = b*u ==> a | q e b | q (1) Seja k um inteiro tal que a | k e b | k. Entao d*u | k e d*v | k ==> existem inteiros r, s tais que k = r*d*u e k = s*d*v ==> r*d*u = s*d*v ==> r*u = s*v ==> u | s*v ==> como u e v sao primos entre si, u | s ==> s = t*u ==> k = t*d*u*v ==> d*u*v | k (2) Logo, d*u*v satisfaz (1) e (2) da definicao de mmc ==> m = d*u*v = (d*u)*(d*v)/d = a*b/d ==> m*d = a*b Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================