on 07.03.04 14:14, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: > On Sun, Mar 07, 2004 at 12:13:54PM -0300, Claudio Buffara wrote: >> Pergunta: Quanto vale |SL(n,p)|? >> >> Sabendo-se que SL(n,p) eh um subgrupo normal de GL(n,p) com indice = p-1, o >> problema acaba. >> >> Por outro lado, alguem sabe calcular |SL(n,p)| de forma elementar? > > Mais elementar do que o que você fez, você quer dizer? > Sem usar teoria de grupos? Bem, é claro que o argumento do índice > que você usou pode ser expandido para ser legível por alguém que > não conheça teoria de grupos.
Tem razao. Por exemplo, voce pode definir uma relacao de equivalencia em GL(n,p): A ~ B <==> det(A) = det(B) e repetir os passos da demonstracao do teorema de Lagrange para esse caso especifico. > Não é tão difícil assim, uma das > demonstrações do pequeno teorema de Fermat populares entre olímpicos > é feita exatamente assim. Você não pode querer dizer sem usar > álgebra linear, quer? Pq a idéia de estudar alguma coisa que envolve > o determinante na definição sem usar álgebra linear, bem... > Nao. Mas o calculo de |GL(n,p)| depende soh do conceito de independencia linear e de combinatoria muito elementar: 1a. linha da matriz: p^n - 1 escolhas (todos os vetores menos o 0); 2a. linha: p^n - p escolhas (todos os vetores menos os multiplos da 1a. linha); etc. Eu me referia a algo desse tipo. Mas, pensando bem, o conceito de matriz inversivel pode ser bem desenvolvido sem se mencionar determinantes. Jah o conceito de matriz com determinante = 1 ... > Eu não conheço nenhuma demonstração muito diferente da que você > mostrou que não seja claramente mais longa ou mais difícil. > Se alguém tiver alguma eu gostaria de ver. > OK. A demonstracao via teorema de Lagrange eh elementar o suficiente. Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================