Duas duvidas remanescentes:
1) O MAPLE reconhece apenas 1 polinomio para alguns termos iniciais de uma sequencia ? Pois a sequencia 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31, pode ser interpretada como a sequencia dos primos, certo ? Mas o MAPLE viu uma logica diferente, tanto que continuou a sequencia com outros numeros. Nisso inicia minha segunda duvida:
2) Dado o polinomio ...
p = (457 x^10 - 27505 x^9 + 720240 x^8 - 10767210 x^7 + 101334261 x^6
- 624137745 x^5 + 2531800010 x^4 - 6626433140 x^3 + 10602193032 x^2
- 9233344800 x + 3265920000)/3628800.
... Por que ele (MAPLE) diz que os proximos termos sao 838, 8440, 48141, 200229,
677006, 1972016, 5126743, 12178361, 26874761, ... ? Seriam as raizes ? Seria muito maçante eu substituir no polinomio para ver isso...
Em uma mensagem de 12/3/2004 11:32:22 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
On Thu, Mar 11, 2004 at 10:47:21PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Para o Nicolau ou quem souber,
>
> [... Dados n pontos (x1, y1), ..., (xn, yn) no plano com xis distintos,
> sempre existe um único polinômio p de grau < n tal que p(xi) = yi...]
>
> Poderiam me dar um exemplo de uma sequencia qualquer apenas para visualizar
> melhor o que esta acima ? Pois esta relacao entre [[[sequencia X polinomios X
> geometria analitica]]] foi bem interessante.
Defina
qi(x) = (x - x1)(x - x2) ... (x - x_{i-1})(x - x_{i+1}) ... (x - xn)
Note que qi é um polinômio de grau (n-1) com raízes
x1, x2, ..., x_{i-1}, x_{i+1}, ..., xn. Ou seja,
qi(xj) = 0 se i for diferente de j e qi(xi) é diferente de 0.
Defina ri(x) = qi(x)/qi(xi): temos ri(xj) = [ i = j ] (notação de Iverson),
ou seja, 1 se i = j e 0 caso contrário.
Finalmente, defina p(x) = y1 r1(x) + y2 r2(x) + ... + yn rn(x).
Claramente p(xi) = yi para todo i e p é um polinômio de grau <= n-1.
Suponha agora que p1(xi) = yi para todo i. Temos (p1 - p)(xi) = 0 para
todo i donde (p1 - p)(x) = s(x)(x-x1)(x-x2)...(x-xn) para algum polinômio s.
Assim ou p1 = p (se s = 0) ou grau(p1 - p) >= n (se s for diferente de 0).
O segundo caso implica grau(p1) >= n. Isto prova o que eu afirmei.
O maple tem a função interp que obtem este polinômio p.
Digamos que você deseje obter uma seqüência que comece assim:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,...
Bem, talvez esta seqüência seja um polinômio. Como demos 11 termos,
podemos encontrar um único polinômio p de grau <= 10 tal que
p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5, ..., p(11) = 31.
O comando para encontrar este polinômio no maple é:
p := interp([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11],[2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31],x);
A que o maple responde com:
457 10 5501 9 3001 8 358907 7 4825441 6 5944169 5
p := ------- x - ------ x + ----- x - ------ x + ------- x - ------- x
3628800 725760 15120 120960 172800 34560
253180001 4 331321657 3 16361409 2 1282409
+ --------- x - --------- x + -------- x - ------- x + 900
362880 181440 5600 504
Ou seja,
p = (457 x^10 - 27505 x^9 + 720240 x^8 - 10767210 x^7 + 101334261 x^6
- 624137745 x^5 + 2531800010 x^4 - 6626433140 x^3 + 10602193032 x^2
- 9233344800 x + 3265920000)/3628800.
Assim, os primeiros 20 termos da seqüência são claramente:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 838, 8440, 48141, 200229,
677006, 1972016, 5126743, 12178361, 26874761, ...
Bem, talvez você consiga pensar em alguma outra seqüência com
aqueles primeiros 11 termos, mas você não tem como negar que a minha
resposta está correta. ;-)
