Oi, Artur: Acho que temos que supor que o dominio de f nao inclui os eixos. Caso contrario, f nao estaria sequer definida.
Agora, sabemos que para todo z real, arctg(z) = z + O(z^3) ==> para todo z <> 0, arctg(z)/z = 1 + O(z^2). Pondo z = xy, ficamos com: f(x,y) = arctg(xy)/(xy) = 1 + O(x^2y^2), para todo (x,y) no dominio de f Assim, seja lah como for que (x,y) -> (0,0), desde que por um caminho inteiramente contido no dominio de f, teremos x^2y^2 -> 0 e, portanto, arctg(xy)/(xy) -> 1. O que voce acha? []s, Claudio. on 01.04.04 14:47, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Eu acho que, a rigor, este limite naum existe mesmo. Em qualquer bola aberta > centrada em (0,0), temos que xy se anula para algum ponto (x,y)<>(0,0). > Basta que uma das componentes se anule e a outra naum, o que ocorre em > qualquer bola de centro em (0,0) para pontos sobre os eixos. Em tais pontos, > f naum eh definida e as condicoes requeridas pela definicao de limite naum > podem ser satisfeitas. > O limite, entretanto, torna-se defato 1 se definirmos que, ao menos em uma > vizinhanca deletada da origem (uma vizinhanca da origem sem a origem), > f(x,y) =1 sempre que xy =0. Em (0,0) f pode nao existir ou ser definida > como o que quer que seja, sem afetar o limite. > Artur > > --------- Mensagem Original -------- > De: [EMAIL PROTECTED] > Para: "OBM" <[EMAIL PROTECTED]> > Assunto: [obm-l] Limite de duas variáveis > Data: 01/04/04 06:01 > > Pessoal, > > Esse é um problema do meu livro que me deixou intrigado. > > Temos a função f(x,y) = arctan(xy)/(xy). > Se 1 - x^2*y/3 < f(x,y) < 1, o que podemos dizer de limite de f(x,y) quando > (x,y) -> (0,0)? > > Minha tentativa foi passar os limites nos três membros da inequação: > > lim_(x,y)->(0,0) 1 - x^2*y/3 = 1 e lim_(x,y)->(0,0) 1 = 1 > > Logo 1 < lim f(x,y) < 1. Na minha interpretação, tal limite não existe, pois > não existe um real L que seja estritamente menor e estritamente maior que 1, > ao mesmo tempo. O problema é que o livro diz que o tal limite é realmente 1. > > Como proceder? > > Grato, > Henrique. > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > ________________________________________________ > OPEN Internet > @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
