Aqui vai a dica: Se p(x) eh redutivel sobre Q, entao, pelo lema de Gauss, existem f(x) e g(x), ambos nao constantes, de coeficientes inteiros, e tais que p(x) = f(x)*g(x).
Eh claro que grau(p) = grau(f) + grau(g) = 2n. Como p(x) eh sempre positivo, f e g devem ter o mesmo sinal, que podemos supor s.p.d.g. que eh positivo. Como p(a_1) = p(a_2) = ... = p(a_n) = 1, temos que: f(a_1)*g(a_1) = ... = f(a_n)*g(a_n) = 1 Pergunta: O que podemos dizer sobre os graus de f(x) e g(x)? []s, Claudio. on 02.04.04 10:41, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: > p(x)-1=((x-x_1)(x-x_2))^2 so por enquanto.t_i sao complexos. > k*(x-t_1)(x-t_2)(x-t_3)(x-t_4)=1+((x-x_1)(x-x_2))^2 > Bem, ai e so usar um pouco de Teoria dos Numeros.Talvez eu feche em casa... > > > > -- Mensagem original -- > >> Oi, pessoal: >> >> A solução que o Ricardo deu pra esse problema do polinômio me fez lembrar >> de um outro, talvez um pouco mais difícil, mas cuja solução usa a mesma > idéia >> (que aliás, ele não explicitou em sua solução - 5 pontos determinam um > polinômio >> de 5o. grau a menos de uma constante multiplicativa. Foi isso que ele usou >> quando escreveu: > >> P(x)-1=k.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5). Obviamente, isso vale pra polinômios >> de qualquer grau). >> >> O problema é o seguinte: >> >> Sejam a_1, a_2, ..., a_n inteiros distintos dois a dois. >> Prove que o polinômio: >> p(x) = (x - a_1)^2*(x - a_2)^2*...*(x - a_n)^2 + 1 >> é irredutível sobre os inteiros (e, portanto, sobre os racionais). >> >> Se ninguém conseguir, daqui a alguns dias eu dou uma dica. >> >> []s, >> Claudio. >> >> De:[EMAIL PROTECTED] >> >> Para:[EMAIL PROTECTED] >> >> Cópia: >> >> Data:Thu, 25 Mar 2004 20:28:06 -0300 >> >> Assunto:Re: [obm-l] POLINOMIO >> >> >> >>> Warley wrote: >>> >>>> Se P(x) eh um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições >>>> 1=P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5) e P(6)=0, então temos: >>>> >>>> a)P(0)=4 >>>> b)P(0)=3 >>>> c)P(0)=9 >>>> d)P(0)=2 >>>> e)nra >>> >>> Se P(a)=1, então P(a)-1=0, ou seja (x-a) é fator >>> de P(x)-1. Logo, >>> >>> P(x)-1=k.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) >>> > >>> Onde k é uma constante real. >>> >>> Se P(6)=0, então >>> P(6)-1=k.(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5) >>> -1=k.5! >>> k=-1/120 >>> >>> Logo, >>> P(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)/120 >>> e portanto >>> P(0)=1-(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)/120=1+120/120=2 >>> P(0)=2 >>> >>> e resposta é (d) >>> > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
