Sejam A e B os vértices, P e Q os centros das bases dos cones maior e menor, respectivamente. As retas AB e PQ se encontram no ponto M que, de acordo com o enunciado, estará sobre a borda da base do cone mais baixo, uma vez que a reta BM, suporte da geratriz do cone menor, passa por A.
Teremos que: AP = h = altura do cone mais alto; BQ = k = altura do cone mais baixo; PM = r + 2s; QM = s. Os triângulos APM e BQM são semelhantes. Logo: AP/PM = BQ/QM ==> h/(r+2s) = k/s ==> h/k = (r+2s)/s = r/s + 2 (1). Mas também sabemos que os volumes dos dois cones são iguais, de forma que: (1/3)*Pi*r^2*h = (1/3)*Pi*s^2*k ==> s^2/r^2 = h/k (2) (1) e (2) ==> s^2/r^2 = r/s + 2. Fazendo a = r/s, obtemos: 1/a^2 = a + 2 ==> a^3 + 2a^2 - 1 = 0 ==> (a + 1)*(a^2 + a - 1) = 0 ==> a única raiz positiva é (raiz(5)-1)/2, que é o valor desejado de r/s (a menos que eu tenha errado alguma conta). []s, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Márcio Barbado Jr." <[EMAIL PROTECTED]> To: "Lista da OBM" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Monday, April 19, 2004 12:30 PM Subject: [obm-l] GEOMETRIA ESPACIAL > Senhores (as) > > Vejam se podem me ajudar com o problema abaixo. Embora possua a > resposta, não vejo como chegar a ela. A resposta segue após o enunciado. > > Um abraço e obrigado pela atenção > > Dois cones tem suas bases se tangenciando e ambas contidas no mesmo > plano. O cone de maior altura possui raio "r" e o outro possui raio "s". > Encontrar o valor da relação "r/s" sabendo-se que os cones possuem mesmo > volume e ainda, a reta suporte da geratriz do cone menor passa pelo vértice > do maior. > > RESP.: -2 + 2 . [5^(1/2)] > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================