Re: [obm-l] AINDA SOBRE O PROBLEMA DOS QUADRADOS PERFEITOS...

[Claudio Buffara]

Title: Re: [obm-l] AINDA SOBRE O PROBLEMA DOS QUADRADOS PERFEITOS...

on 20.04.04 11:36, Alan Pellejero at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Pessoal, eu consegui provar, não sei se utilizando de argumentos coerentes ou não, que, desde que a e b sejam diferentes de 0, para que (a^2 + b^2)  / ab + 1 seja um quadrado perfeito, desde que seja um inteiro, |a| = |b|, mas, se a e b são naturais, então a = b.
Bom, gostaria de saber se isso é válido...
Dai, o que estava tentando fazer era provar que (2a^2) / (a^2+1) era um quadrado perfeito, desde que fosse um inteiro.
Gostaria que desse um contra-exemplo ou pusessem a posição a respeito.
Se vcs quiserem, eu mostro como eu cheguei a esta conclusão...
Um abração
Alan Pellejero


Oi, Alan:

Repare que 2a^2/(a^2 + 1) = 2 - 2/(a^2 + 1) e isso soh eh inteiro quando a^2 +1 divide 2, ou seja, quando a^2 + 1 = 1 ou 2 <==> a = 0 ou 1.

Se excluirmos o caso a = 0, entao soh sobra a = 1 ==>
2a^2/(a^2 + 1) = 1 = 1^2.

Assim, o que podemos afirmar eh que se a = b > 0, entao:
(a^2 + b^2)/(1 + ab) eh inteiro <==>
(a^2 + b^2)/(1 + ab) = 1 <==>
(a^2 + b^2)/(1 + ab) eh quadrado perfeito.

No entanto, existem outros casos onde (a^2 + b^2)/(1 + ab) eh inteiro (e quadrado perfeito) com a > b. Por exemplo, tome a = n^3 e b = n, com n um natural qualquer.

[]s,
Claudio.